[论文解读] Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup

Ruslan Skuratovskii|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文构建了一个极小生成集，并完整描述了交错群 $A_{2^k}$ 和 $A_n$ 的 Sylow 2-子群的结构，证明了其极小性并计算了换位子宽度。通过使用毛球积分解和根树上的自同构群作用来刻画这些子群，解决了先前关于 $p=2$ 时非极小性和结构描述不完整的问题。主要贡献是为 $Δ\mathrm{Syl}_2A_n$ 提供了一个完整且极小的生成系统，并更正了 $Δ\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的导出长度，其在密码学和几何群论中有应用。

ABSTRACT

In this article the investigation of Sylows p-subgroups of ${{A}_{n}}$ and ${{S}_{n}}$, which was started in article of U. Dmitruk, V. Suschansky "Structure of 2-sylow subgroup of symmetric and alternating group" and article of R.~Skuratovskii "Corepresentation of a Sylow p-subgroup of a group S_n" \cite{Dm, Sk, Paw} is continued. Let $Syl_2{A_{2^k}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ be Sylow 2-subgroups of corresponding alternating groups $A_{2^k}$ and $A_{n}$. We find a least generating set and a structure for such subgroups $Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ and commutator width of $Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}. The authors of \cite{Dm, Paw} didn't proof minimality of finding by them system of generators for such Sylow 2-subgroups of $A_n$ and structure of it were founded only descriptively. The purpose of this paper is to research the structure of a Sylow 2-subgroups and to construct a minimal generating system for such subgroups. In other words, the problem is not simply in the proof of existence of a generating set with elements for the Sylow 2-subgroup of alternating group of degree $2^k $ and proof its minimality. The main result is the proof of minimality of this generating set of the above described subgroups and also the description of their structure.

研究动机与目标

• 解决先前文献中关于 $A_n$ 和 $A_{2^k}$ 的 Sylow 2-子群生成集描述不完整且非极小的问题。
• 证明为 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 和 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 构造的生成集的极小性。
• 通过毛球积分解和根树上的自同构群作用，完整描述 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 和 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的群结构。
• 更正先前文献中关于 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的导出长度恒为 $k$ 的错误断言，表明当 $k=2$ 时其值为 1。
• 探索在密码学和几何群论中的应用，包括密钥空间扩展和 Reeb 图自同构。

提出的方法

• 利用自同构在正则根二叉树 $X^{[k]}$ 上的作用来模拟 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的群结构。
• 定义顶点置换（v.p.），并根据状态是否平凡或活跃，将顶点标记为 0 或 1，形成带标签的树表示。
• 通过逐层活跃状态构造生成元 $\alpha_i$ 和 $\beta$，特别关注第 $k-1$ 层的非平凡 v.p.。
• 应用毛球积结构 $C_2 \wr \cdots \wr C_2$（共 $k-1$ 次）来模拟 $\mathrm{Aut}X^{[k-1]} \simeq B_{k-1}$，该结构通过偶置换作用。
• 在最底层状态上施加同余关系（公式 7），以限制群为偶置换，形成模型 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的 $\boxtimes$ 积。
• 使用 Legendre 公式验证 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的阶为 $2^{n - m - 2}$，与构造的生成系统阶数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的极小生成集，且其是否真正极小？
• RQ2 如何完整描述 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的结构，特别是当 $n = 2^k$ 时？
• RQ3 如何正确确定 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的导出长度，其与先前文献中声称的 $k$ 有何不同？
• RQ4 群 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 如何与 Morse 函数和 Reeb 图的自同构群相关联？
• RQ5 所构造的生成系统能否用于构建具有大密钥空间的密码原 primitive？

主要发现

• 为 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 构造的生成集是极小的，其大小为 $2^{k-1} - k - 1 + 2^{k-2}$，且极小性得到了严格证明。
• 对 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的结构完整描述为商群 $\mathrm{Syl}_2S_{2^{k_0}} \boxtimes \cdots \boxtimes \mathrm{Syl}_2S_{2^{k_m}}$，其中 $\boxtimes$ 积通过在最底层状态上施加同余关系来强制实现偶置换作用。
• 通过 Legendre 公式确认 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 的阶为 $2^{n - m - 2}$，且与构造群的阶数一致。
• $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 的导出长度并非如先前所声称的恒为 $k$；当 $k=2$ 时，其值为 1，因为 $\mathrm{Syl}_2A_4 \simeq K_4$ 是交换群。
• $\mathrm{Syl}_2A_n$ 作为 $D^2$ 上 Morse 函数的 Reeb 图的自同构群作用，存在一个涉及 $\mathbb{Z}^m$ 和同伦于恒等映射的微分同胚群的短正合列。
• 该生成系统支持不同生成集和对角基的指数增长，从而在密码学中实现大密钥空间扩展。