[论文解读] Structure and regularity for subsets of groups with finite VC-dimension

Gabriel Conant, Anthony L. Pillay+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文为具有有界VC维的有限群中的子集建立了算术正则性引理，表明此类集合可被代数结构——有界指数的正规子群或Bohr邻域——以小误差近似。通过模型论技术，包括伪有限紧化和李群的逆极限，作者证明此类集合的结构由高度规则、代数性质良好的对象所支配，将Green的算术正则性引理推广至非交换群，具有强一致性和可量化界限。

ABSTRACT

Suppose $G$ is a finite group and $A\subseteq G$ is such that $\{gA:g\in G\}$ has VC-dimension strictly less than $k$. We find algebraically well-structured sets in $G$ which, up to a chosen $ε>0$, describe the structure of $A$ and behave regularly with respect to translates of $A$. For the subclass of groups with uniformly fixed finite exponent $r$, these algebraic objects are normal subgroups with index bounded in terms of $k$, $r$, and $ε$. For arbitrary groups, we use Bohr neighborhoods of bounded rank and width inside normal subgroups of bounded index. Our proofs are largely model theoretic, and heavily rely on a structural analysis of compactifications of pseudofinite groups as inverse limits of Lie groups. The introduction of Bohr neighborhoods into the nonabelian setting uses model theoretic methods related to the work of Breuillard, Green, and Tao and Hrushovski on approximate groups, as well as a result of Alekseev, Glebskii, and Gordon on approximate homomorphisms.

研究动机与目标

• 将Green的算术正则性引理从阿贝尔群推广至在有限VC维条件下的一般有限群。
• 识别可近似具有有界VC维的有限群子集的代数结构（如正规子群或Bohr邻域）。
• 在VC维、群指数和误差容限方面，建立这些近似结构指数的统一、可量化的界限。
• 通过伪有限群及其紧化，将组合正则性与模型论方法统一。
• 利用近似群结构理论与Keisler测度的工具，将结果从阿贝尔情形推广至非阿贝尔情形。

提出的方法

• 使用模型论方法，特别是伪有限群及其作为李群逆极限的紧化理论。
• 应用Keisler测度与fsg（有限满足的通用类型）概念，分析饱和模型中定义集的性质。
• 利用紧致$p$-进解析群中开正规子群的可定义性，将伪有限设定中的结果传递至有限商群。
• 借助Breuillard、Green与Tao关于近似群的工作，以及Hrushovski关于稳定群的研究，分析具有有限VC维的集合结构。
• 利用有界秩与有界宽度的Bohr邻域概念，嵌入有界指数的正规子群中，以捕捉非阿贝尔群中的正则性。
• 应用Alekseev、Glebskii与Gordon关于近似同态的结果，以控制集合$A$的平移行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当集合$A$具有有限VC维时，算术正则性能否从阿贝尔群推广至非阿贝尔有限群？
• RQ2 哪些代数结构（如子群或Bohr邻域）可统一近似具有有界VC维的有限群子集$A$？
• RQ3 如何利用伪有限性与紧化等模型论工具，推导算术组合中的定量正则性结果？
• RQ4 在VC维、群指数与误差容限方面，近似结构的指数存在何种统一界限？
• RQ5 能否利用可定义性与类型空间，将$p$-进解析群的结果提升至其有限商群？

主要发现

• 对于指数$ r $一致有界的有限群，近似代数对象为指数以$k$、$r$与$\\/epsilon$为参数有界的正规子群。
• 对于任意有限群，近似结构为有界秩与有界宽度的Bohr邻域，嵌入有界指数的正规子群中。
• 集合$A$可被近似为近似子群的陪集并集，误差集合的密度小于$\epsilon$。
• 正则性条件成立：对任意平移$gH$，要么$gH \cap A = \emptyset$，要么$gH \subseteq A$，误差集合除外。
• 证明依赖于群的伪有限紧化，其表现为李群的逆极限，以及存在唯一的左不变Keisler测度。
• 主要结果通过类型论紧致性论证建立，利用类型空间中的饱和性与聚点，从统一界限不成立的假设中导出矛盾。