[论文解读] Structure and Semantics

Thomas Charles Avery|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文引入原理论（proto-theories）作为代数理论的统一框架，对Lawvere理论、单子（monads）和操作代数（operads）等结构进行推广。通过范畴的arity（aritation）建立结构-语义伴随关系，并将完备的拓扑原理论识别为单子的推广，其语义函子是满且忠实的，从而实现类似于群论中投影群（profinite groups）的完备性定理。

ABSTRACT

There are many category-theoretic notions of algebraic theory, including Lawvere theories, monads, PROPs and operads. The first central notion of this thesis is a common generalisation of these, which we call a proto-theory. In order to define models of a proto-theory in a category, we need a way of relating the arities of the proto-theory with the objects of the category. This leads to our second central notion, that of an interpretation of arities, or aritation for short. We show that every aritation gives rise to a semantics functor sending proto-theories to models. In fact this functor always has an adjoint, giving a structure-semantics adjunction. Furthermore, we show that the semantics of proto-theories generalises the classical semantics of many existing notions of algebraic theory. Another aim of this thesis is to find a convenient category of monads in the following sense. Every right adjoint gives rise to a monad on its codomain, and more generally so does any functor that admits a codensity monad. However, not all functors have codensity monads. This means that the semantics functor for monads on a category, viewed as a functor into the category of all functors into the base category, does not have a left adjoint. We seek a generalisation of monads with a semantics functor that does have a left adjoint. This can be accomplished with proto-theories, but at a cost. The classical semantics functor for monads is full and faithful; this is a kind of completeness theorem, and is highly desirable in a notion of algebraic theory. However, the semantics functor for general proto-theories is not full and faithful. Thus we seek a generalisation of monads and their semantics for which the semantics functor is both full and faithful and has a left adjoint. We show that such a generalisation is given, for suitable base categories, by a certain kind of topological proto-theory.

研究动机与目标

• 将代数理论的多种概念——如Lawvere理论、单子、PROPs和操作代数——统一于原理论的单一框架中。
• 通过构造一个语义函子为满且忠实的单子推广，以解决单子的局限性，确保从理论到其模型的信息完全保留。
• 利用arity（aritation）建立原理论的结构-语义伴随关系，从而支持原理论的语义函子。
• 刻画一类原理论——完备的拓扑原理论——其为单子的推广，同时保留诸如语义函子满且忠实等理想性质。
• 在原理论与群之间建立类比，表明完备的拓扑原理论对应于投影群，正如单子对应于有限群。

提出的方法

• 将原理论定义为现有代数理论的共同推广，通过范畴框架捕捉操作与等式关系。
• 引入arity（aritation）作为将理论操作与基范畴对象关联的结构，从而支持语义函子的定义。
• 从配备aritation的原理论范畴构造语义函子，证明其具有左伴随（即结构函子），从而形成结构-语义伴随关系。
• 证明标准单子、Lawvere理论及其他变体的语义函子均可通过适当选择aritation获得。
• 将完备的拓扑原理论定义为拓扑原理论的全子范畴，其特征为具有反射嵌入及幂等的结构-语义单子。
• 通过拓扑丰富化与余密度单子（codensity monads）确保语义函子为满且忠实，从而实现类似于投影群表征的完备性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个统一框架，能够将单子、Lawvere理论和操作代数等代数理论概念统一起来？
• RQ2 是否存在单子的推广，使得其语义函子为满且忠实，从而确保模型构造过程中信息不丢失？
• RQ3 如何通过arity与原理论将结构-语义伴随关系推广至单子之外？
• RQ4 哪些拓扑与范畴条件可确保结构-语义单子为幂等，从而在完备的拓扑原理论中形成反射子范畴？
• RQ5 完备的拓扑原理论是否具有类似于投影群的表征，例如作为余密度单子的代数，或通过hom-空间的拓扑性质表征？

主要发现

• 通过arity建立的原理论结构-语义伴随关系，推广了所有已知代数理论变体的语义函子。
• 一般原理论的语义函子并非满且忠实，但该性质在完备的拓扑原理论子范畴中得以恢复。
• 完备的拓扑原理论构成拓扑原理论的反射子范畴，对应于由结构-语义伴随生成的幂ingleton单子。
• 在适当基范畴条件下，拓扑原理论上的结构-语义单子被识别为单子嵌入拓扑原理论的包含函子的余密度单子。
• 完备的拓扑原理论范畴被猜想可表征为单子嵌入原理论的包含函子的余密度单子的代数范畴，但该猜想尚未被证明。
• 通过紧致、豪斯多夫且完全不连通的hom-空间对完备的拓扑原理论进行拓扑表征的尝试在一般情况下被证明为错误，提示需要寻找替代的拓扑条件。