[论文解读] Structure formation in modified gravity models alternative to dark energy

K. Koyama|Portsmouth Research Portal (University of Portsmouth)|Jan 10, 2006

Cosmology and Gravitation Theories被引用 34

一句话总结

本文为修正引力模型推导出协变引力方程，其能重现带有 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 修正项的修正弗里德曼方程，该修正项在 $ \alpha=1 $ 时插值于 DGP 模型，在 $ \alpha\to0 $ 时插值于 LCDM 模型。研究显示，结构形成过程与具有相同膨胀历史的暗能量模型存在差异，且这些差异关键取决于有效能量-动量修正 $ E_{\mu\nu} $ 的形式，而该形式必须由基础理论约束，方能实现观测检验。

ABSTRACT

We study structure formation in phenomenological models in which the Friedmann equation receives a correction of the form $H^α/r_c^{2-α}$, which realize an accelerated expansion without dark energy. In order to address structure formation in these model, we construct simple covariant gravitational equations which give the modified Friedmann equation with $α=2/n$ where $n$ is an integer. For $n=2$, the underlying theory is known as a 5D braneworld model (the DGP model). Thus the models interpolate between the DGP model ($n=2, α=1$) and the LCDM model in general relativity ($n o \infty, α o 0$). Using the covariant equations, cosmological perturbations are analyzed. It is shown that in order to satisfy the Bianchi identity at a perturbative level, we need to introduce a correction term $E_{μν}$ in the effective equations. In the DGP model, $E_{μν}$ comes from 5D gravitational fields and correct conditions on $E_{μν}$ can be derived by solving the 5D perturbations. In the general case $n>2$, we have to assume the structure of a modified theory of gravity to determine $E_{μν}$. We show that structure formation is different from a dark energy model in general relativity with identical expansion history and that quantitative features of the difference crucially depend on the conditions on $E_{μν}$, that is, the structure of the underlying theory of modified gravity. This implies that it is essential to identify underlying theories in order to test these phenomenological models against observational data and, once we identify a consistent theory, structure formation tests become essential to distinguish modified gravity models from dark energy models in general relativity.

研究动机与目标

• 推导出能重现带有 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 修正项的表观修正弗里德曼方程的协变引力方程。
• 在保持微扰层次上 BIANCHI 恒等式的同时，分析这些模型中的宇宙学微扰。
• 确定来自高维物理或修正引力的修正张量 $ E_{\mu\nu} $ 如何影响结构形成。
• 证明修正引力与暗能量模型之间的观测差异关键取决于对 $ E_{\mu\nu} $ 结构的假设。
• 强调识别修正引力的底层理论对于将表观修正引力模型与数据进行观测检验至关重要。

提出的方法

• 推导出能产生修正弗里德曼方程 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} = H^2 - 8\pi G\rho/3 $ 的有效协变方程，其中 $ \alpha = 2/n $，$ n $ 为整数。
• 引入修正张量 $ E_{\mu\nu} $，以确保在微扰层次上 BIANCHI 恒等式成立。
• 构建有效能量-动量张量 $ {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} $ 的显式形式，作为能量-动量张量 $ T_{\mu\nu} $ 的多项式函数，最高至 $ n=5 $。
• 通过施加对称性和守恒条件（如 $ \nabla^\nu {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} = 0 $）来确定 $ {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} $ 的系数，背景为均匀各向同性。
• 推导密度、速度和度规微扰的微扰方程，重点关注 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{0}_{\>i} $ 和 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{i}_{TT\;j} $，并施加约束以确保物理一致性。
• 以 DGP 模型（$ n=2 $）为基准，从五维微扰中推导出 $ E_{\mu\nu} $，并通过假设一致的修正引力结构，将结果推广至 $ n>2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一致的协变引力方程，以重现带有 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 修正项的表观修正弗里德曼方程？
• RQ2 有效修正张量 $ E_{\mu\nu} $ 在微扰分析中如何维持 BIANCHI 恒等式？
• RQ3 修正引力模型中的结构形成与具有相同膨胀历史的暗能量模型有何不同？
• RQ4 为确保物理一致性并避免非物理模式，应对 $ E_{\mu\nu} $ 施加哪些约束？
• RQ5 为何识别修正引力的底层理论对于表观修正引力模型的观测检验至关重要？

主要发现

• 有效张量 $ {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} $ 在归一化常数范围内被完全确定为 $ {}^{(n)}\Pi^{\mu}_{\>\nu} = C_n \begin{pmatrix} -\rho^n & 0 \\ 0 & \big[(n-1)\rho^n + nP\rho^{n-1}\big]\delta^i_j \end{pmatrix} $，确保 BIANCHI 恒等式自动满足。
• 在 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{0}_{\>i} $ 分量中的微扰以 $ nC_n \rho^{n-1} \delta q_{,i} $ 的方式缩放，显示出对密度和速度微扰的敏感性。
• 横向-无迹部分 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{i}_{TT\;j} $ 与 $ f_n(\rho,P)\delta\pi^i_j $ 成正比，其中 $ f_n(\rho,P) = C_n \left[ n\left(-\frac{3}{2}n + \frac{5}{2}\right)\rho^{n-1} - \frac{3}{2}n(n-1)\rho^{n-2}P \right] $，通过施加一致性条件推导得出。
• 当 $ n=4 $ 时，$ f_4(\rho,P) = -C_4(14\rho^3 + 18\rho P) $，当 $ n=5 $ 时，$ f_5(\rho,P) = -C_5(25\rho^4 + 30\rho^3 P) $，验证了通式。
• 这些模型中的结构形成与具有相同膨胀历史的暗能量模型存在差异，且差异的性质关键取决于 $ E_{\mu\nu} $ 的形式，而该形式依赖于理论。
• 本文结论指出，对表观修正引力模型进行观测检验，必须识别其底层理论，因为 $ E_{\mu\nu} $ 决定了微扰的物理行为。