[论文解读] Structure of $A(\infty)$-algebra and Hochschild and Harrison cohomology

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|Oct 21, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文建立了微分代数同调上 $A(∞)$-代数结构的退化性与Hochschild与Harrison上同调消失之间的精确联系。证明了若对 $n \geq 3$ 有 $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$，则 $H(C)$ 上所有 $A(\infty)$-结构均为平凡结构，且通过Harrison上同调类似地适用于交换 $A(\infty)$-结构。这为有理同伦论与形变理论中非平凡高阶运算提供了上同调障碍。

ABSTRACT

Stasheff's $A(\infty)$-algebra $(M,\{m_i:\otimes^iM o M, i=1,2,3,...\})$ in fact is a DG-algebra $(M,m_1,m_2)$ with not necessarily associative product $m_2$ but this nonassociativity is measured by higher homotopies $m_{i>2}$. Nevertheless such structure arises in the strictly associative situation too, namely in the homology algebra $H(C)$ of a DG-algebra $C$ with free $H_i(C)$-s, particularly in the cohomology algebra $H^*(X,Λ)$ of a topological space $X$. It is clear that the $A(\infty)$-algebra $(H^*(X,Λ),\{m_i\})$ carries more information than the cohomology algebra $H^*(B,Λ)$. Naturally arises a question when this structure is degenerate, that is when an $A(\infty)$-algebra $(M, \{m_i\})$ is isomorphic to one with higher operations $m_i, i\geq 3$ trivial? In this paper we introduce the obstructions for such degeneracy. Namely, operations $\{m_i\}$ we interpret as Hochschild twisting cochain $m=m_3+m_4+..., m_i\in C^n(M,M)$ satisfying $δm=m\smile_1m$ where $\smile_1$ is Gerstenhabers product in $C^*(M,M)$. Using the generalized product $f\smile_1(g_1,...,g_k)$ we define perturbations of Hochschild twisting cochains (i.e. of $A(\infty)$ structures) and in particular prove that if for a graded algebra $(M,μ)$ all Hochschild cohomologies $Hoch^{n,2-n}(M,M)=0$ for $n\geq3$ then any $A(\infty)$-algebra structure $\{m_i\}$ on $M$ with $m_1=0, m_2=μ$, is degenerate.

研究动机与目标

• 确定微分代数同调上 $A(\infty)$-代数结构为平凡（即所有高阶运算 $m_i$ 对 $i \geq 3$ 消失）的条件。
• 通过同调代数的Hochschild上同调建立 $A(\infty)$-结构平凡性的上同调准则。
• 通过Harrison上同调将此准则推广至交换情形，以处理交换 $A(\infty)$-代数。
• 通过上同调代数阐明 $A(\infty)$-结构与空间有理同伦型之间的关系。

提出的方法

• 使用扭连络形式化方法，将 $A(\infty)$-结构解释为Hochschild上链复形中满足 $\delta m = m \smile_1 m$ 的元素。
• 定义 $A^0(\infty)$ 类别，即满足 $m_1 = 0$ 且 $m_2$ 固定的 $A(\infty)$-代数，并建立此类结构的等价类与 $Tw(M,M)$ 中扭连络之间的双射。
• 应用巴尔构造 $\tilde{B}(M,\{m_i\})$，将 $A(\infty)$-代数与DG-余代数联系起来，保持态射与结构不变。
• 通过要求 $m_i$ 在混洗积上消失，引入交换 $A(\infty)$-代数的概念，从而导出DG-霍普夫代数结构。
• 使用Gerstenhaber的 $\smile_1$ 乘积定义Hochschild上边界与上同调，并将 $A(\infty)$-结构的等价性与上链等价性联系起来。
• 对交换情形的Harrison复形应用巴尔构造，表明交换 $A(\infty)$-代数的态射诱导DG-霍普夫代数之间的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种上同调条件下，微分代数同调上的所有 $A(\infty)$-结构均为平凡？
• RQ2 为何当 $n \geq 3$ 时 $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C))$ 消失，可推出 $H(C)$ 上所有 $A(\infty)$-结构为平凡？
• RQ3 对于格拉斯交换代数上的交换 $A(\infty)$-结构，其平凡性的类比上同调准则为何？
• RQ4 有理上同调代数上的 $A(\infty)$-结构如何与空间的有理同伦型相关联？
• RQ5 $A(\infty)$-结构的等价性与Hochschild上同调中扭连络等价性之间的精确关系为何？

主要发现

• 若对所有 $n \geq 3$ 有 $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$，则 $H(C)$ 上所有 $A(\infty)$-结构均与平凡结构（即对 $i \geq 3$ 有 $m_i = 0$）等价。
• 在满足 $m_1 = 0$ 的格拉斯代数 $(M,\mu)$ 上，$A(\infty)$-结构的等价类集合与 $Tw(M,M)$ 中扭连络集合之间存在双射。
• 对交换 $A(\infty)$-结构，类似结论成立：若对 $n \geq 3$ 有 $Harr^{n,2-n}(M,M) = 0$，则所有此类结构均为平凡。
• 巴尔构造 $\tilde{B}(M,\{m_i\})$ 是从 $A(\infty)$-代数到DG-余代数的函子，且 $A(\infty)$-代数的态射诱导这些DG-余代数之间的态射。
• 在交换情形下，巴尔构造产生DG-霍普夫代数，且交换 $A(\infty)$-代数的态射诱导DG-霍普夫代数之间的映射。
• 平凡 $A(\infty)$-结构对应于零扭连络，任何非平凡结构均来自 $Tw(M,M)$ 中的非零扭连络。