[论文解读] Structure of Exact Renormalization Group Equations for field theory

C. Bervillier|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过一个简单的勒让德变换，建立了尺度依赖的全作用量 $ S[\tilde{\phi},t] $ 与尺度依赖的有效作用量 $ \Gamma[\tilde{\Phi},t] $ 之间的联系，消除了对截断函数的显式依赖。结果表明，通过使用一个冗余的、完全共形不变的算符，可以无需紫外截断地一致地构建精确重整化群方程，该算符保持重参数化不变性，并可通过场重正则化干净地去除紫外和红外截断。

ABSTRACT

It is shown that exact renormalization group (RG) equations (including rescaling and field-renormalization) for respectively the scale-dependent full action $S[ϕ,t]$ and the scale-dependent full effective action $Γ[Φ,t]$ --in which $t$ is the "RG-time" defined as the logarithm of a running momentum scale-- may be linked together by a Legendre transformation as simple as $Γ[Φ,t] -S[ϕ,t] + ϕ\cdot Φ=0$, with $Φ(x) =δS[ϕ] /δϕ(x) $ (resp. $ϕ(x) =-δΓ[Φ]/δΦ(x) $), where $ϕ$ and $Φ$ are dimensionless-renormalized quantities. This result, in which any explicit reference to a "cutoff procedure" is absent, makes sense in the framework of field theory. It may be compared to the dimensional regularization of the perturbative field theory, in which the running momentum scale is a pure scale of reference and not a momentum cutoff. It is built from the Wilson historic first exact RG equation in which the field-renormalization step is realized via an operator which is redundant and exactly marginal at a fixed point, the properties of which are conserved by the Legendre transformation and which modifies the usual removal of the overall UV cutoff $Λ_{0}$ by associating it with the removal of an overall IR cutoff $μ$. Because the final equations do not refer to any true cutoff (even for the scale-dependent $Γ$), it reinforces the idea that one may get rid of the achronistic procedure of "regularizing" the theory via an explicit "cutoff function", procedure which is often seen as an inconvenience to treat modern problems in field theory.

研究动机与目标

• 建立量子场论中精确重整化群（ERGE）方程的严格、无截断依赖的表述。
• 通过消除紫外截断函数的需求，解决传统ERGE表述中显式截断依赖的理论问题。
• 证明通过一个完全共形不变冗余算符（EMRO）实现的场重正则化，可以替代标准的正则化程序。
• 通过 $ S[\tilde{\phi},t] $ 与 $ \Gamma[\tilde{\Phi},t] $ 之间的简单勒让德变换，统一威耳逊型与韦特里希型ERGE框架。
• 表明最终的ERGE方程与紫外和红外截断均无关，强化了通过截断函数进行正则化是不必要的副产品这一观点。

提出的方法

• 通过三个步骤构建精确RG演化：稀释（积分高动量模式）、重标度（通过 $ \Lambda $ 变换为无量纲变量）、以及通过冗余的、完全共形不变算符（EMRO）实现场重正则化。
• 引入无量纲的重正则化场 $ \tilde{\phi} $ 和 $ \tilde{\Phi} $，其中 $ \tilde{\Phi}(x) = \delta S[\tilde{\phi}]/\delta\tilde{\phi}(x) $，以确保重参数化不变性。
• 应用勒让德变换 $ \Gamma[\tilde{\Phi},t] - S[\tilde{\phi},t] + \tilde{\phi} \cdot \tilde{\Phi} = 0 $，在不显式依赖截断函数的前提下，建立尺度依赖作用量与有效作用量之间的联系。
• 使用满足 $ K(0) = 1 $ 的截断函数 $ K(q^2) $，并构造一个EMRO $ \mathcal{O}_K $，其能保持固定点结构，并实现紫外与红外截断的干净去除。
• 通过引入EMRO项 $ \varpi_1(t) \mathcal{O}_K $，推导出 $ S[\phi,t] $ 的修正ERGE方程，其中 $ \varpi_1(t) = -\eta(t)/2 $，$ \eta(t) $ 为运行的反常维数。
• 证明在 $ \epsilon \to 0 $ 极限下，$ B(x) $ 的解简化为 $ B(x) = \frac{K(x)}{x}[1 - K(x)] $，从而确认EMRO构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不显式依赖紫外截断函数的前提下，构建精确重整化群方程？
• RQ2 如何使尺度依赖作用量 $ S[\tilde{\phi},t] $ 与有效作用量 $ \Gamma[\tilde{\Phi},t] $ 之间的勒让德变换保持一致且无截断依赖？
• RQ3 一个完全共形不变冗余算符（EMRO）在消除通过截断函数进行正则化的需要中起到什么作用？
• RQ4 EMRO的引入如何影响ERGE的结构以及反常维数的出现？
• RQ5 是否能在单一ERGE框架内一致地去除紫外与红外截断？

主要发现

• 勒让德变换 $ \Gamma[\tilde{\Phi},t] - S[\tilde{\phi},t] + \tilde{\phi} \cdot \tilde{\Phi} = 0 $ 在尺度依赖作用量与有效作用量之间精确成立，其中 $ \tilde{\Phi} = \delta S / \delta\tilde{\phi} $，且不包含任何显式截断依赖。
• 通过 $ K(q^2) $（满足 $ K(0) = 1 $）定义的EMRO $ \mathcal{O}_K $ 在固定点处为完全共形不变，且在勒让德变换下保持ERGE结构不变。
• 在EMRO框架中，$ B(x) $ 的解在 $ \epsilon \to 0 $ 极限下简化为 $ B(x) = \frac{K(x)}{x}[1 - K(x)] $，确认了其一致性和无截断依赖性。
• 修正的 $ S[\phi,t] $ 的ERGE中包含额外项 $ \varpi_1(t) \mathcal{O}_K $，其中 $ \varpi_1(t) = -\eta(t)/2 $，该形式正确捕捉了反常维数 $ \eta(t) $。
• 该框架通过将紫外截断 $ \Lambda_0 $ 的去除与红外截断 $ \mu $ 的去除相关联，实现了紫外与红外截断的一致去除，从而使通过截断函数进行正则化成为过时的手段。
• 最终的ERGE方程完全满足重参数化不变性，且无需任何显式正则化，支持了量子场论更根本的表述形式。