[论文解读] Structure of $J$-holomorphic disks with immersed Lagrangian boundary conditions

Perrier Alexandre|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文将 Lazzarini 关于 $J$-全纯圆盘的结构定理推广至浸入拉格朗日子流形边界条件的情形，证明任意具有角点且边界位于浸入拉格朗日子流形上的有限能量 $J$-全纯圆盘，均可分解为有限个简单或多重覆盖圆盘的复合。其关键贡献是一项分解定理，使得在满足 $N_L \geq 3$ 的单调拉格朗日子流形上，可于 Floer 同调计算中使用时间无关的几乎复结构。该成果在无需引入时间依赖的几乎复结构的前提下，解决了拉格朗日子流形交点理论中的正则性与横截性问题。

ABSTRACT

We explain how to generalize Lazzarini's structural Theorem from [Laz11] to the case of curves with boundary on a given Lagrangian immersion. As a consequence of this result, we show that we can compute Floer homology with time-independent almost complex structures. We also give some applications as well as topics for future work.

研究动机与目标

• 将 Lazzarini 关于 $J$-全纯圆盘的结构定理推广至浸入拉格朗日子流形边界条件的情形。
• 建立具有角点且边界位于浸入拉格朗日子流形上的有限能量 $J$-全纯圆盘的分解结构，即其可分解为有限个简单或多重覆盖圆盘的复合。
• 证明在单调性与 Maslov 数条件成立时，可使用时间无关的几乎复结构来计算 Floer 同调。
• 为具有浸入拉格朗日子流形的拉格朗日子流形交点理论中的正则性与横截性提供理论基础。

提出的方法

• 定义具有角点且边界位于浸入拉格朗日子流形上的 $J$-全纯曲线，其中角点对应于浸入的二重点。
• 在定义域圆盘中构造一个 $\mathcal{C}^1$-嵌入图（即“框架”），用于描述曲线与其边界重叠的区域，并利用角点附近的渐近展开式。
• 证明曲线的像可表示为有限个简单或多重覆盖 $J$-全纯圆盘的像的并集。
• 通过扰动论证与 Gromov 紧性，分析一系列泪滴型曲线的极限，证明其收敛于断裂的带状结构。
• 应用组合指标论证与正则性条件，排除复杂断裂构型，从而证明仅有简单或多重覆盖曲线可能出现。
• 通过仔细追踪分支点与角点结构，将 Lazzarini 的证明策略适配至浸入情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lazzarini 关于 $J$-全纯圆盘的结构定理能否推广至浸入拉格朗日子流形边界条件的情形？
• RQ2 在何种条件下，可对浸入拉格朗日子流形使用时间无关的几乎复结构来定义 Floer 同调？
• RQ3 具有角点且边界位于浸入拉格朗日子流形上的有限能量 $J$-全纯圆盘的分解结构为何？
• RQ4 拉格朗日子流形浸入中横截二重点的存在如何影响 $J$-全纯圆盘的模空间？
• RQ5 何种拓扑与分析约束可确保此类圆盘为简单或多重覆盖？

主要发现

• 任意非平凡的有限能量 $J$-全纯圆盘，若具有角点且边界位于浸入拉格朗日子流形上，则必可分解为有限个简单或多重覆盖 $J$-全纯圆盘的复合。
• 在复维数 $n \geq 3$ 时，对任意通用的时间无关几乎复结构 $J$，此类圆盘要么为简单圆盘，要么为简单圆盘的分支覆盖。
• 圆盘的像为所有简单分量像的并集，且在同调类中，原圆盘的同调类等于各分量同调类的加权和（按重数计）。
• 对于两个满足 $N_{L_1}, N_{L_2} \geq 3$ 的横截单调拉格朗日子流形，其 Floer 同调可使用时间无关的 $J$ 定义，无需引入时间依赖的扰动。
• 泪滴型曲线的模空间在 Gromov 收敛意义下收敛于断裂带状结构，且由于指标约束，此类断裂带状结构必仅由单个简单曲线构成。
• 断裂曲线的树结构必为平凡结构（单个顶点），这是由指标不等式与条件 $n \geq 3$ 共同决定，从而排除了非平凡断裂构型的可能。