[论文解读] Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{p}^2$

Zhuchao Ji|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 41被引用 1

一句话总结

本文研究了 ℙ² 上后临界有限（PCF）全纯自同态的 Julia 集结构。证明了集合 $J_1 \setminus J_2$——即第一 Julia 集超出最大熵测度支集的部分——包含于临界分支循环的吸引域与偶发超鞍点周期轨道的稳定流形的并集中。在临界分支满足横截性假设的前提下，进一步表明 $J_1 \setminus J_2$ 完全位于临界分支吸引域内，且 $J_2$ 中任意点均不包含 Fatou 圆盘，从而解决了关于非游荡集与 Green 电流层状结构的开放问题。

ABSTRACT

Let $f$ be a post-critically finite endomorphism (PCF map for short) on $\mathbb{P}^2$, let $J_1$ denote the Julia set and let $J_2$ denote the support of the measure of maximal entropy. In this paper we show that: 1. $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the (finitely many) basins of critical component cycles and stable manifolds of sporadic super-saddle cycles. 2. For every $x\in J_2$ which is not contained in the stable manifold of a sporadic super-saddle cycle, there is no Fatou disk containing $x$. Here sporadic means that the super-saddle cycle is not contained in a critical component cycle. Under the additional assumption that all branches of $PC(f)$ are smooth and intersect transversally, we show that there is no sporadic super-saddle cycle. Thus in this case $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the basins of critical component cycles, and for every $x\in J_2$ there is no Fatou disk containing $x$. As consequences of our result: 1.We answer some questions of Fornaess-Sibony about the non-wandering set for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ with no sporadic super-saddle cycles. 2. We give a new proof of de Th\'elin's laminarity of the Green current in $J_1\setminus J_2$ for PCF maps on $\mathbb{P}^2$. 3. We show that for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ an invariant compact set is expanding if and only if it does not contain critical points, and we obtain characterizations of PCF maps on $\mathbb{P}^2$ which are expanding on $J_2$ or satisfy Axiom A.

研究动机与目标

• 理解 ℙ² 上后临界有限（PCF）自同态的 $J_1 \setminus J_2$ 的结构，特别是临界分支循环与偶发超鞍点周期轨道的作用。
• 通过解决 Fornaess 与 Sibony 关于 ℙ² 上 PCF 映射的非游荡集与 Green 电流层状结构的开放问题。
• 刻画 ℙ² 上 PCF 映射在 $J_2$ 上为扩张映射或满足 Axiom A 的条件，从而将动力系统性质与临界集结构相联系。

提出的方法

• 通过分解 Julia 集 $J_1$ 与 $J_2$ 来分析 ℙ² 上 PCF 映射的动力系统，其中 $J_1$ 是动力 Green 电流 $T$ 的支集，而 $J_2 = \mathrm{Supp}(T \wedge T)$ 是最大熵测度的支集。
• 识别出 $J_1 \setminus J_2$ 位于临界分支循环吸引域与偶发超鞍点周期轨道稳定流形的并集中，其中“偶发”指不属于任何临界分支循环的点。
• 应用 Fatou 圆盘的概念——即在该圆盘上迭代族构成正规族的全纯圆盘——并证明：若点 $x \in J_2$ 不属于任何偶发超鞍点周期轨道的稳定流形，则不存在包含 $x$ 的 Fatou 圆盘。
• 利用迹测度 $\sigma_T = T \wedge \omega$ 分析 $J_1 \setminus J_2$ 中的层状结构，将其与 Fatou 圆盘的存在性联系起来。
• 对临界分支施加横截性与光滑性条件，以消除偶发超鞍点周期轨道，从而简化 $J_1 \setminus J_2$ 的结构。
• 应用 Dinh-Sibony 与 de Thélin 关于 Green 电流与层状结构的结果，证明在横截性假设下，Green 电流在 $J_1 \setminus J_2$ 上是层状的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ℙ² 上的 PCF 自同态，$J_1 \setminus J_2$ 的精确结构是什么？临界分支循环与偶发超鞍点周期轨道在其中起到何种作用？
• RQ2 能否在 ℙ² 上的 PCF 映射中确立 $J_2$ 中无 Fatou 圆盘？该结论在何种条件下成立？
• RQ3 当临界集满足何种条件时，偶发超鞍点周期轨道的缺失可推出 $J_1 \setminus J_2$ 完全包含于临界分支吸引域中？
• RQ4 PCF 映射在 $J_2$ 上为扩张映射或满足 Axiom A 的性质，如何与临界分支的动力行为相关联？
• RQ5 能否通过临界集结构与动力系统的结构性分析，重新证明 Green 电流在 $J_1 \setminus J_2$ 上的层状性？

主要发现

• 集合 $J_1 \setminus J_2$ 包含于临界分支循环吸引域与偶发超鞍点周期轨道稳定流形的并集中，其中“偶发”指不包含于任何临界分支循环中的点。
• 对于任意 $x \in J_2$ 不属于任何偶发超鞍点周期轨道的稳定流形，不存在包含 $x$ 的 Fatou 圆盘，这意味着此类点在动力系统中为非正规点。
• 在所有 $PC(f)$ 分支均为光滑且相互横截的假设下，不存在偶发超鞍点周期轨道，因此 $J_1 \setminus J_2$ 仅包含于临界分支循环的吸引域中。
• 本文通过结构动力学方法，给出了 de Thélin 关于 ℙ² 上 PCF 映射在 $J_1 \setminus J_2$ 上 Green 电流层状性的结果的新证明，而非依赖于直接的电流理论方法。
• 紧致不变集为扩张映射当且仅当其不包含临界点；对于 ℙ² 上的 PCF 映射，$f$ 在 $J_2$ 上为扩张映射当且仅当所有临界分支均前周期性地映射至临界分支循环。
• ℙ² 上的 PCF 映射满足 Axiom A 当且仅当其在 $J_2$ 上为扩张映射，且每个临界分支循环与 $J_1$ 的交集为双曲（鞍）集。