[论文解读] Structure of Noncommutative Fock space

Sicong Jing, Qiuyu Liu+1 more|May 5, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 5

一句话总结

本文研究了在同时存在坐标-坐标与动量-动量非对易性的非对易相空间中，全同玻色子的非对易 Fock 空间结构。与标准 Fock 空间不同，不同自由度的数算符不满足对易关系，导致无法存在共同本征态；然而，通过 Schmidt 正交化方法构造了正交基，并显式构建了二维相干态，表明坐标-动量不确定度关系被饱和，而坐标-坐标与动量-动量关系则未被饱和。

ABSTRACT

The structure of the state-vector space of identical bosons in noncommutative spaces is investigated. To maintain Bose-Einstein statistics the commutation relations of phase space variables should simultaneously include coordinate-coordinate non-commutativity and momentum-momentum non-commutativity, which lead to noncommutative Fock space. By this we mean that creation and annihilation operators corresponding to different degrees of freedom of the bosons do not commute each other. The main character of the noncommutative Fock space is there are no ordinary number representations because of the non-commutativity between different number operators. However, eigenvectors of several pairs of commuting Hermitian operators are obtained which can also be served as bases in this Fock space. As a simple example, an explicit form of two-dimensional canonical coherent state in this noncommutative Fock space is constructed and its properties are discussed.

研究动机与目标

• 理解在同时存在坐标与动量非对易性的非对易空间中，全同玻色子的 Fock 空间结构。
• 解决由于数算符非对易而导致普通数态表示失效的问题。
• 利用 Schmidt 正交化方法，在非对易 Fock 空间中构造正交且完备的基。
• 在该非对易框架下定义并分析二维规范相干态。
• 研究所构造相干态中不确定度关系的行为。

提出的方法

• 从非对易相空间代数（公式 1）推导产生与湮灭算符，同时包含坐标与动量的非对易性。
• 定义数算符 $\hat{N}_a$ 与 $\hat{N}_b$，并证明它们不满足对易关系，从而无法存在共同本征态。
• 应用 Schmidt 正交化方法，在非对易 Fock 空间中构造至一阶变形参数 $\theta$ 的正交且完备基。
• 利用非对易代数关系构造二维规范相干态 $|\alpha, \beta\rangle$。
• 计算相干态中 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$ 的方差与不确定度关系，以评估不确定度界限是否被饱和。
• 使用参数 $\theta$ 表示非对易性，即 $[\hat{x}, \hat{y}] = i\theta/(m\omega)$ 与 $[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = i m\omega \theta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 同时存在坐标-坐标与动量-动量非对易性如何改变全同玻色子的 Fock 空间结构？
• RQ2 为何由于数算符非对易，标准数态在非对易 Fock 空间中失效？
• RQ3 尽管数算符无共同本征态，是否仍可在非对易 Fock 空间中构造正交且完备的基？
• RQ4 非对易 Fock 空间中的相干态是否能饱和坐标-动量对的海森堡不确定度关系？
• RQ5 非对易参数如何影响不确定度关系，使其超出标准坐标-动量界限？

主要发现

• 数算符 $\hat{N}_a$ 与 $\hat{N}_b$ 不满足对易关系，因此不存在共同本征态，标准 Fock 空间基失效。
• 通过 Schmidt 正交化方法构造了正交且完备的基，其状态同时为 $\hat{N}_a + \hat{N}_b - \theta \hat{L}$ 与 $\hat{N}_a$ 或 $\hat{N}_b$ 的本征态。
• 显式构造了二维规范相干态 $|\alpha, \beta\rangle$，并证明其为过度完备。
• 相干态中 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$ 的方差分别为 $\frac{1}{2m\omega}, \frac{1}{2m\omega}, \frac{m\omega}{2}, \frac{m\omega}{2}$，与 $\theta$ 无关。
• 坐标-动量不确定度关系 $\triangle \hat{x} \triangle \hat{p}_x = \frac{1}{2}$ 与 $\triangle \hat{y} \triangle \hat{p}_y = \frac{1}{2}$ 被饱和，而坐标-坐标与动量-动量关系未被饱和。
• 该结果反驳了先前认为在非对易量子力学中仅能饱和一个不确定度关系的论断，表明双重非对易性可使两个关系同时被饱和。