[论文解读] Structure of the largest idempotent-free sequences in finite semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文刻画了有限半群中长度最长的无幂等积序列的结构，通过确定长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 且在自然顺序下不包含任何幂等积子序列的序列的确切形式，扩展了 Gillam、Hall 和 Williams 于 1972 年的结果。本文为半群引入了新的结构性常数，将经典的戴维森常数推广至非交换和非群情形。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

研究动机与目标

• 确定有限半群中无幂等积序列的最大可能长度的确切结构。
• 通过新的结构性不变量，将经典戴维森常数推广至非交换和非群半群。
• 推广 Gillam、Hall 和 Williams 于 1972 年关于保证存在幂等积子序列的阈值长度的结果。
• 刻画长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 且在自然顺序下避免幂等积的序列。
• 引入并分析新的常数，这些常数在有限交换群情况下退化为戴维森常数。

提出的方法

• 分析半群中非幂等元集合有限时序列的结构。
• 利用自然顺序下序列积的框架，识别幂等元必然出现的条件。
• 为半群引入两个新的结构性常数，用于度量无幂等积序列的最大长度。
• 证明此类序列的最大长度恰好为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$，并刻画其结构。
• 建立当限制在有限交换群时，这些常数可退化为经典戴维森常数。
• 应用组合与半群理论技术，推导出避免幂等积序列的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限半群中，最长无幂等积序列的确切结构是什么？
• RQ2 当非幂等元集合有限时，最大无幂等积序列的行为如何？
• RQ3 可为半群定义哪些结构性常数，以将戴维森常数推广至非交换和非群情形？
• RQ4 在何种条件下，长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 的序列不会在自然顺序下包含幂等积子序列？
• RQ5 在有限交换群情况下，这些新常数与经典戴维森常数有何关系？

主要发现

• 在非幂等元集合有限的半群 $\mathcal{S}$ 中，无幂等积序列的最大长度恰好为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$。
• 所有此类最大长度序列均可完全根据其在 $\mathcal{S}$ 的非幂等元中的组成结构来刻画。
• 本文为半群引入了两个新的结构性常数，将戴维森常数推广至非交换和非群情形。
• 当半群为有限交换群时，这些常数退化为经典戴维森常数。
• 实现最大长度 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 的序列结构受到高度约束，所有项均位于 $\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})$ 中。
• Gillam、Hall 和 Williams 提出的阈值 $|\mathcal{S}| - |E(\mathcal{S})| + 1$ 被确认为最优，本文提供了该阈值下方序列的完整结构描述。