[论文解读] Structure of Virasoro tensor categories at central charge $13-6p-6p^{-1}$ for integers $p > 1$

Robert McRae, Jinwei Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 53被引用 10

一句话总结

本文在中心电荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 下建立了 Virasoro 代数范畴 $ olimits_c$ 的完整张量范畴结构，其中 $p > 1$ 为整数，证明了其刚性，计算了所有涉及不可约模及其投影覆盖的张量积规则，并表明 $ olimits_c$ 的半简化等价于两个范畴的 Deligne 乘积，每个范畴均与仿射 $ olimits_{ olimits_2}$ 在水平 $-2 + p^{ olimits 1}$ 下的 Kazhdan-Lusztig 范畴等价。此外，本文还证明了一个近期猜想，即 $ olimits_c^0$ 与 $W(p)$-模范畴的 $ olimits(2, olimits)$-等变化范畴之间存在辫状张量等价。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O}_c$ be the category of finite-length central-charge-$c$ modules for the Virasoro Lie algebra whose composition factors are irreducible quotients of reducible Verma modules. Recently, it has been shown that $\mathcal{O}_c$ admits vertex algebraic tensor category structure for any $c\in\mathbb{C}$. Here, we determine the structure of this tensor category when $c=13-6p-6p^{-1}$ for an integer $p>1$. For such $c$, we prove that $\mathcal{O}_{c}$ is rigid, and we construct projective covers of irreducible modules in a natural tensor subcategory $\mathcal{O}_{c}^0$. We then compute all tensor products involving irreducible modules and their projective covers. Using these tensor product formulas, we show that $\mathcal{O}_c$ has a semisimplification which, as an abelian category, is the Deligne product of two tensor subcategories that are tensor equivalent to the Kazhdan-Lusztig categories for affine $\mathfrak{sl}_2$ at levels $-2+p^{\pm 1}$. Next, as a straightforward consequence of the braided tensor category structure on $\mathcal{O}_c$ together with the theory of vertex operator algebra extensions, we rederive known results for triplet vertex operator algebras $\mathcal{W}(p)$, including rigidity, fusion rules, and construction of projective covers. Finally, we prove a recent conjecture of Negron that $\mathcal{O}_c^0$ is braided tensor equivalent to the $PSL(2,\mathbb{C})$-equivariantization of the category of $\mathcal{W}(p)$-modules.

研究动机与目标

• 确定中心电荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 下 Virasoro 代数范畴 $ olimits_c$ 的完整张量范畴结构，其中 $p > 1$ 为整数，且该范畴既非半单也非有限。
• 证明 $ olimits_c$ 是刚性的，并计算所有涉及不可约模及其投影覆盖的张量积。
• 证明 $ olimits_c$ 的半简化等价于两个范畴的 Deligne 乘积，每个范畴均与 $ olimits_{ olimits_2}$ 在水平 $-2 + p^{ olimits 1}$ 下的 Kazhdan-Lusztig 代数范畴张量等价。
• 利用 $ olimits_c$ 上的辫状张量结构与顶点算子代数扩张理论，重新推导出关于三元组顶点算子代数 $W(p)$ 的已知结果，包括刚性与张量积规则。
• 证明 Negron 提出的近期猜想：子范畴 $ olimits_c^0$ 与 $W(p)$-模范畴的 $ olimits(2, olimits)$-等变化范畴之间存在辫状张量等价。

提出的方法

• 使用顶点算子代数的互化算子与 Zhu 代数构造，分析 $ olimits_c$ 中的张量积规则与张量结构。
• 通过 $ olimits(2, olimits)$-群作用，在张量子范畴 $ olimits_c^0$ 内构造不可约模的投影覆盖。
• 应用顶点算子代数扩张理论，从 $ olimits_c$ 的辫状张量结构出发，重新推导出关于三元组代数 $W(p)$ 的已知结果。
• 通过诱导与不变函子，建立 $ olimits_c^0$ 与 $G$-等变化 $W(p)$-模范畴之间的辫状张量等价。
• 利用正合函子与自然同构，证明诱导-不变复合函子 $F \circ I$ 自然同构于恒等函子，从而确认等价性。
• 利用 $W(p)$ 作为 $V_c$-模的半单性，以及 $G$ 的不可约特征标的有限维性，对模进行分解并分析不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在中心电荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 下，$p > 1$ 为整数时，$ olimits_c$ 的完整张量范畴结构是什么？
• RQ2 范畴 $ olimits_c$ 是否是刚性的？其简单对象的范畴维数是多少？
• RQ3 不可约模及其投影覆盖在 $ olimits_c$ 中的张量积如何分解？
• RQ4 $ olimits_c$ 的半简化结构是什么？它如何作为 Deligne 乘积分解？
• RQ5 $ olimits_c^0$ 是否与 $W(p)$-模范畴的 $ olimits(2, olimits)$-等变化范畴辫状张量等价？

主要发现

• 在中心电荷 $c = 13 - 6p - 6p^{-1}$ 下，$p > 1$ 为整数时，范畴 $ olimits_c$ 是刚性的，所有不可约模均具有明确定义的范畴维数。
• $ olimits_c$ 中所有不可约模及其投影覆盖的张量积均已显式计算，提供了完整的张量积规则描述。
• $ olimits_c$ 的半简化等价于两个范畴的 Deligne 乘积，每个范畴均与 $ olimits_{ olimits_2}$ 在水平 $-2 + p^{ olimits 1}$ 下的 Kazhdan-Lusztig 代数范畴等价。
• 利用 $ olimits_c$ 的辫状张量结构与顶点算子代数扩张理论，重新推导出关于三元组顶点算子代数 $W(p)$ 的结果，包括刚性与张量积规则。
• 子范畴 $ olimits_c^0$ 被证明与 $W(p)$-模范畴的 $ olimits(2, olimits)$-等变化范畴之间存在辫状张量等价，从而证实了 Negron 的猜想。
• 诱导函子 $F$ 与不变函子 $I$ 构成一对互逆等价，建立了 $ olimits_c^0$ 与 $G$-等变化 $ olimits cdo W(p)$ 的范畴之间的完整等价。