[论文解读] Structure-preserving Finite Element Methods for Stationary MHD Models

Kaibo Hu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于稳态磁流体动力学（MHD）的结构保持混合有限元方法，采用磁感应强度 $\bm{B}$ 和电流密度 $\bm{j}$ 作为主要变量。该方法通过使用 $H(\mathrm{div})$-符合的有限元和一个拉格朗日乘子，精确保持了散度为零条件 $\nabla\cdot\bm{B}=0$ 以及系统的能量守恒定律，从而在不施加雷诺数限制的情况下确保了问题的适定性和收敛性。

ABSTRACT

In this paper, we develop a class of mixed finite element scheme for stationary magnetohydrodynamics (MHD) models, using magnetic field $\bm B$ and current density $\bm j$ as the discretization variables. We show that the Gauss's law for the magnetic field, namely $ abla\cdot\bm{B}=0$, and the energy law for the entire system are exactly preserved in the finite element schemes. Based on some new basic estimates for $H^{h}(\mathrm{div})$, we show that the new finite element scheme is well-posed. Furthermore, we show the existence of solutions to the nonlinear problems and the convergence of Picard iterations and finite element methods under some conditions.

研究动机与目标

• 提出一种用于稳态MHD的有限元格式，使其在离散层面精确保持磁感应强度的高斯定律 $\nabla\cdot\bm{B}=0$。
• 确保整个MHD系统的离散能量守恒定律被精确保持，从而在数值模拟中维持物理一致性。
• 在不依赖小雷诺数的条件下，建立非线性离散问题的适定性，克服先前方法的局限性。
• 将结构保持技术从时间依赖的MHD推广至稳态情形，其中法拉第定律无法自然地强制 $\bm{B}$ 的散度为零。
• 在适当的正则性和有限元逼近假设下，证明Picard迭代和有限元逼近的收敛性。

提出的方法

• 该方法以 $\bm{B}$ 和 $\bm{j}$ 作为主要未知量，利用以 $\|\bm{j}\|$ 表示的能量表达式，从而使其选择优于 $\bm{E}$。
• 引入一个拉格朗日乘子，以在离散层面强加 $\nabla\cdot\bm{B}=0$，从而确保高斯定律的精确保持。
• 离散格式采用 $H(\mathrm{div})$-符合有限元处理 $\bm{B}$，以及 $H(\mathrm{curl})$-符合有限元处理相关变量，确保与de Rham复形的相容性。
• 洛伦兹力项被离散化为 $(\bm{E} + \mathbb{P}(\bm{u}\times\bm{B}), \mathbb{P}(\bm{v}\times\bm{B}))$，其中 $\mathbb{P}$ 为投影算子，该形式与时间依赖格式不同，使得在不依赖小 $R_e$ 的条件下仍能保证适定性。
• 为分析离散 inf-sup 条件和格式稳定性，发展了一套新的 $H^h(\mathrm{div})$ 空间估计。
• 采用带有合适函数空间（包括速度、压力、磁感应强度、电流密度和拉格朗日乘子）的混合变分格式对方法进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种用于稳态MHD的有限元方法，使其在离散层面精确保持 $\nabla\cdot\bm{B}=0$？
• RQ2 如何在稳态有限元离散化中精确保持MHD系统的能量守恒定律？
• RQ3 是否可以在不施加小雷诺数条件的情况下，建立离散问题的适定性？
• RQ4 选择变量 ($\bm{B}$ 和 $\bm{j}$) 在实现结构保持和避免限制性假设中起到什么作用？
• RQ5 离散非线性项（尤其是洛伦兹力中的项）如何影响格式的稳定性和收敛性？

主要发现

• 所提出的有限元格式通过 $H(\mathrm{div})$-符合有限元和拉格朗日乘子，在离散层面精确保持了高斯定律 $\nabla\cdot\bm{B}=0$。
• 整个MHD系统的离散能量守恒定律被精确保持，从而确保了长期稳定性和物理一致性。
• 在不施加任何雷诺数 $R_e$ 限制的条件下，建立了离散问题的适定性，这与基于 $\bm{E}$ 的方法形成对比。
• 在适当的正则性和逼近假设下，证明了Picard迭代和有限元逼近的收敛性。
• 推导出误差估计，表明当有限元空间满足 $r_1 = r_2 = r_3 + 1 = s_u = s_p + 1$ 时，可获得最优收敛率，且BDM和Nédélec元是有效选择。
• 该方法避免使用最低阶的Raviart-Thomas元，原因在于分析中的技术限制，但认为该限制并非本质性的。