[论文解读] Structure-Preserving Time Discretization of Port-Hamiltonian Systems via Discrete Gradient Pairs

Philipp Schulze|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2023

Numerical methods for differential equations被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型的结构保持时间离散化方法——离散梯度对，用于具有状态相关质量矩阵的非线性端口-哈密顿系统。通过构建离散梯度对（特别是对对称正定质量矩阵采用中点离散梯度对），该方法在时间离散化层面实现了精确的功率平衡，从而在降阶模型中保持了关键的物理特性。

ABSTRACT

We discuss structure-preserving time discretization for nonlinear port-Hamiltonian systems with state-dependent mass matrix. Such systems occur, for instance, in the context of structure-preserving nonlinear model order reduction for port-Hamiltonian systems and, in this context, structure-preserving time discretization is crucial for preserving some of the properties of the time-continuous reduced-order model. For this purpose, we introduce a new class of time discretization schemes which is based on so-called discrete gradient pairs and leads to an exact power balance on the time-discrete level. Moreover, for the special case of a pointwise symmetric and positive definite mass matrix, we present an explicit construction of a discrete gradient pair. Finally, we illustrate the theoretical findings by means of a numerical example, where the time-continuous system is a nonlinear reduced-order model for an advection-diffusion problem.

研究动机与目标

• 解决在具有状态相关质量矩阵的非线性端口-哈密顿系统的时间离散化过程中保持物理结构（特别是功率平衡）的挑战。
• 通过引入离散梯度对，克服标准离散梯度方法的局限性，即要求哈密顿量梯度在系统方程中显式出现。
• 为逐点对称正定质量矩阵的情形，提供一种离散梯度对的显式构造方法。
• 通过一个非线性对流-扩散问题的降阶模型，验证该方法的有效性，结果表明其具有精确的离散功率平衡与二阶收敛性。
• 通过确保时间离散系统的性质与连续系统一致，实现结构保持的模型降阶。

提出的方法

• 提出离散梯度对的概念，作为在动力学方程中哈密顿量梯度未显式出现的系统中，离散梯度的推广形式。
• 将离散梯度对定义为满足离散均值性质的一对函数，从而在时间离散化层面实现精确的功率平衡。
• 对于对称正定质量矩阵，通过在哈密顿量梯度上应用中点法则，构造中点离散梯度对。
• 基于离散梯度对推导出一种时间离散化格式，以保持端口-哈密顿系统代数结构的完整性。
• 确保时间离散系统满足精确的功率平衡方程：$ \frac{\mathcal{H}(x^{n+1}) - \mathcal{H}(x^n)}{\Delta t} = -y^n \cdot u^n $，其误差仅来自非线性求解过程。
• 在数值实验中采用具有严格容差的牛顿型求解器实现该格式，以最小化非线性迭代误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散梯度对能否用于构建具有状态相关质量矩阵的非线性端口-哈密顿系统的时间结构保持积分器？
• RQ2 所提出的方法是否即使在哈密顿量非二次时，也能在时间离散化层面实现精确的功率平衡？
• RQ3 能否为对称正定质量矩阵的情形构造出显式的离散梯度对？
• RQ4 与经典的隐式中点法等方案相比，离散梯度对方法的收敛行为如何？
• RQ5 该方法在偏微分方程的非线性降阶模型中，对物理特性的保持程度如何？

主要发现

• 所提出的离散梯度对方法在时间离散化层面实现了精确的功率平衡，如定理4.3所证明，即使对于非二次哈密顿量也成立。
• 对于对称正定质量矩阵，中点离散梯度对提供了显式且可计算的构造方式，如定理4.2所示。
• 在对流-扩散问题的非线性降阶模型上的数值实验表明，离散梯度对方法的功率平衡误差比隐式中点法小几个数量级。
• 中点离散梯度对方法的实验收敛阶约为2，与隐式中点法一致，如图2中的收敛性曲线所证实。
• 该方法在无需哈密顿量梯度显式出现在系统方程中的前提下，保持了结构保持性，克服了先前离散梯度方法的关键局限。
• 数值实验的代码已通过DOI 10.5281/zenodo.10059715公开发布，支持可复现性与进一步研究。