[论文解读] Structure Theorem and Isomorphism Test for Graphs with Excluded Topological Subgraphs

Martin Grohe, Dániel Marx|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Nov 4, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文提出了一个关于排除固定图 $H$ 作为拓扑子图的图的结构定理，表明此类图具有树分解结构，其中每个侧体（torso）要么几乎可嵌入到某个曲面上，要么除有限个顶点外度数有界。关键贡献是针对此类图设计了一个多项式时间同构测试算法，通过不变的树状分解和可 canonization 的提升引理，统一并推广了已知的有界度数图和 $H$-极小图的结果。

ABSTRACT

We generalize the structure theorem of Robertson and Seymour for graphs excluding a fixed graph $H$ as a minor to graphs excluding $H$ as a topological subgraph. We prove that for a fixed $H$, every graph excluding $H$ as a topological subgraph has a tree decomposition where each part is either "almost embeddable" to a fixed surface or has bounded degree with the exception of a bounded number of vertices. Furthermore, we prove that such a decomposition is computable by an algorithm that is fixed-parameter tractable with parameter $|H|$. We present two algorithmic applications of our structure theorem. To illustrate the mechanics of a "typical" application of the structure theorem, we show that on graphs excluding $H$ as a topological subgraph, Partial Dominating Set (find $k$ vertices whose closed neighborhood has maximum size) can be solved in time $f(H,k)\cdot n^{O(1)}$ time. More significantly, we show that on graphs excluding $H$ as a topological subgraph, Graph Isomorphism can be solved in time $n^{f(H)}$. This result unifies and generalizes two previously known important polynomial-time solvable cases of Graph Isomorphism: bounded-degree graphs and $H$-minor free graphs. The proof of this result needs a generalization of our structure theorem to the context of invariant treelike decomposition.

研究动机与目标

• 将罗伯逊与塞弗伦（Robertson 和 Seymour）关于 $H$-极小图的结构定理推广至排除 $H$ 作为拓扑子图的图。
• 设计一个以 $|H|$ 为参数的固定参数可追踪算法，用于计算此类图的结构分解。
• 应用该结构定理，为偏支配集（Partial Dominating Set）和图同构等基础问题设计高效算法。
• 将结构定理推广至不变的树状分解，以支持逻辑可定义性与算法提升。
• 将已知的有界度数图与 $H$-极小图在图同构问题上的多项式时间可解性统一到一个统一框架中。

提出的方法

• 证明一个结构定理：每个排除 $H$ 作为拓扑子图的图，均具有树分解结构，其中每个侧体要么几乎可嵌入到某个固定曲面，要么除有限个顶点外度数有界。
• 设计一个以 $|H|$ 为参数的固定参数可追踪算法，用于计算此类分解，依赖于极小图判定与结构分解技术。
• 在树分解上采用自底向上的动态规划方法，以时间 $f(k,H) imes n^{O(1)}$ 求解偏支配集问题。
• 将结构定理推广至不变的树状分解，以支持逻辑可定义性与算法提升。
• 应用一个通用的提升引理，将侧体类上的多项式时间 canonization 算法推广至整个图类。
• 利用不变分解定理与提升引理，证明 $H$-拓扑子图排除图类具有多项式时间强 canonization。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为排除 $H$ 作为拓扑子图的图建立一个结构定理，使其推广罗伯逊与塞弗伦基于极小图的结构定理？
• RQ2 是否存在一个以 $|H|$ 为参数的固定参数可追踪算法，用于计算 $H$-拓扑子图排除图的结构分解？
• RQ3 该结构定理能否用于为偏支配集等图类问题设计高效算法？
• RQ4 $H$-拓扑子图排除图的图同构问题是否可在多项式时间内求解？若可，其算法实现方式为何？
• RQ5 能否将结构定理扩展至不变的树状分解，以支持 canonization 与同构测试？

主要发现

• 本文建立了 $H$-拓扑子图排除图的结构定理：每个此类图均具有树分解结构，其中每个侧体要么几乎可嵌入到某个曲面，要么除有限个顶点外度数有界。
• 该分解可在时间 $f(H) imes |V(G)|^{O(1)}$ 内计算，其中 $f$ 为可计算函数，因此以 $|H|$ 为参数时为固定参数可追踪。
• 偏支配集问题在 $H$-拓扑子图排除图上可于时间 $f(k,H) imes n^{O(1)}$ 内求解，证明了该结构定理的实用性。
• 图同构问题在 $H$-拓扑子图排除图上可于多项式时间内求解，统一了此前对有界度数图与 $H$-极小图的同构结果。
• 该同构结果依赖于结构定理向不变树状分解的推广，以及一个将 canonization 算法从侧体类推广至整个图类的提升引理。
• 运行时间的指数依赖于 $H$，目前尚不清楚该同构测试是否可进一步优化为固定参数可追踪时间 $f(H) imes n^{O(1)}$。