[论文解读] Structure theorems for actions of homeomorphism groups

Lei Chen, Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文建立了同胚与微分同胚群在流形上作用的全面结构定理，解决了Ghys、Hurtado和Militon长期存在的猜想。证明了在有限维流形上，$\operatorname{Homeo}_0(M)$ 的传递作用源于 $M$ 上点的配置空间，且在维数约束下对同态 $\operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)$ 进行了分类，表明此类作用为纤维丛结构或平凡结构。该工作对 $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ 在曲面上的作用提供了完整分类，并解决了具有边界的流形上微分同胚的扩张问题。

ABSTRACT

We give general classification and structure theorems for actions of groups of homeomorphisms and diffeomorphisms on manifolds, reminiscent of classical results for actions of (locally) compact groups. This gives a negative answer to Ghys' "extension problem" for diffeomorphisms of manifolds with boundary, as well as a classification of all homomorphisma $\mathrm{Homeo}_0(M) o \mathrm{Homeo}_0(N)$ when dim(M) = dim(N) (and related results for diffeomorphisms), and a complete classification of actions of $\mathrm{Homeo}_0(S^1)$ on surfaces. This resolves many problems in a program initiated by Ghys, and gives definitive answers to conjectures of Militon and Hurtado and a question of Rubin.

研究动机与目标

• 对 $\operatorname{Homeo}_0(M)$ 和 $\operatorname{Diff}^r_0(M)$ 在有限维流形或CW复形上的所有连续作用进行分类。
• 通过证明 $\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M)$ 到 $\operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ 不存在非平凡同态，解决Ghys关于具有边界的流形上微分同胚的扩张问题。
• 当 $\dim(M) = \dim(N)$ 时，对所有同态 $\rho: \operatorname{Homeo}_0(M) \to \operatorname{Homeo}_0(N)$ 进行分类，表明其源于自然的几何构造。
• 完成对 $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ 在曲面上的作用的分类，包括开口环面和球面，并将此结果推广至 $\operatorname{Homeo}_0(S^n)$ 在 $(n+1)$-球面上的作用。
• 在维数与传递性约束下，对Rubin的问题给出最终答案：当 $\operatorname{Homeo}(X) \to \operatorname{Homeo}(Y)$ 时，$X$ 是否为 $Y$ 的连续像。

提出的方法

• 使用轨道分类定理：$\operatorname{Homeo}_c(M)$ 在有限维CW复形上的每个轨道要么是单点，要么是某个配置空间 $\operatorname{Conf}_n(M)$ 的覆盖的连续单射像。
• 应用度理论，根据不动点集的结构，将 $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$-作用在曲面上的轨道分为度数 0、1 和 2。
• 采用共轭技巧对二维轨道上的作用进行标准化，利用德恩扭转和径向共轭将作用约化为标准形式。
• 构造显式的同胚 $h: [0,1] \to [0,1]$ 以实现共轭，证明两个作用等价当且仅当 $h(K) = K'$ 且 $\lambda$ 与 $h \circ \lambda'$ 在 $[0,1] \setminus K$ 的所有但有限个连通分支上一致。
• 通过识别 $\phi: \theta \mapsto \operatorname{Fix}(G_0 \cap G_\theta)$ 分析轨道序列的收敛性，利用反证法证明在聚点处的连续性。
• 利用 $\operatorname{Fix}(\rho(h))$ 是闭集的事实，排除一维轨道中点列的不一致极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $\operatorname{Homeo}_0(M)$ 在有限维流形上的连续作用是否都通过自然作用在配置空间 $\operatorname{Conf}_n(M)$ 上实现？
• RQ2 当 $\dim(N) < 2\dim(M)$ 时，是否存在非平凡同态 $\operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)$？若存在，其结构如何？
• RQ3 同态 $\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M) \to \operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ 的存在是否意味着限制映射存在群论意义上的截面？若否，原因是什么？
• RQ4 对于紧致 $M$，Militon的猜想（即 $\operatorname{Homeo}_0(M)$ 的所有自同态均由共轭诱导）是否成立？
• RQ5 对 $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ 在 2-球面、开口环面和圆盘上的作用是否存在完整分类？

主要发现

• 在有限维流形或CW复形上，$\operatorname{Homeo}_0(M)$ 的传递作用源于在 $\operatorname{Conf}_n(M)$ 上的自然作用，且目标空间同胚于此类配置空间的覆盖。
• 当 $\dim(N) < 2\dim(M)$ 时，任何非平凡连续同态 $\rho: \operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)$ 诱导的不动点自由作用中，$N$ 是 $M$ 上的拓扑纤维丛。
• 具有边界的流形上微分同胚的扩张问题答案为否定：当 $M$ 为球体时，$\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M)$ 到 $\operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ 不存在非平凡同态。
• Militon猜想（即 $\operatorname{Homeo}_0(M)$ 的所有自同态均为内自同态）在一般情况下不成立，尤其在负曲率流形上不成立，但其失败情形被完全分类并受到严格约束。
• $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ 在曲面上的所有作用均已分类，且在 $n=1$ 与 $n>1$ 时，其在 $(n+1)$-球面上的作用分类存在显著差异。
• 两个同态 $\rho_{K,\lambda}$ 与 $\rho_{K',\lambda'}$ 共轭当且仅当存在同胚 $h: [0,1] \to [0,1]$，使得 $h(K) = K'$，且 $\lambda$ 与 $h \circ \lambda'$ 在 $[0,1] \setminus K$ 的所有但有限个连通分支上一致。