[论文解读] Structured $H_\infty$-Optimal Control for Nested Interconnections: A State-Space Solution

Carsten W. Scherer|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于LMI的直接状态空间方法，用于具有块三角结构的嵌套互连系统的$H_\infty$-最优输出反馈控制，实现了控制器阶数和维度的先验固定。该方法通过利用结构化投影引理和控制器阶数扩展，克服了基于Riccati方程的方法以及Youla参数化方法的局限性，首次在该背景下实现了精确的最优综合设计。

ABSTRACT

If imposing general structural constraints on controllers, it is unknown how to design $H_\infty$-controllers by convex optimization. Under a so-called quadratic invariance structure of the generalized plant, the Youla parametrization allows to translate the structured synthesis problem into an infinite-dimensional convex program. Nested interconnections that are characterized by a standard plant with a block-triangular structure fall into this class. Recently it has been shown how to design optimal $H_2$-controllers for such nested structures in the state-space by solving algebraic Riccati equations. In the present paper we provide a state-space solution of the corresponding output-feedback $H_\infty$ synthesis problem without any counterpart in the literature. We argue that a solution based on Riccati equations is - even for state-feedback problems - not feasible and we illustrate our results by means of a simple numerical example.

研究动机与目标

• 解决在一般结构约束下缺乏直接状态空间方法进行$H_\infty$-最优控制的问题。
• 克服基于Riccati方程的方法在结构化$H_\infty$问题中，甚至在状态反馈设置下也存在不可行性的问题。
• 为具有块三角结构的输出反馈$H_\infty$控制提供一种凸的、数值可处理的解决方案。
• 实现控制器阶数和问题维度的先验指定，避免迭代细化或高维子空间的使用。
• 将$H_2$-最优状态空间解法推广至嵌套互连系统的$H_\infty$-最优控制。

提出的方法

• 通过具有下块三角控制通道和嵌套互连结构的广义对象，建立结构化$H_\infty$控制问题的数学形式。
• 应用结构化版本的投影引理，推导出一种凸LMI形式，以强制实现所需的控制器结构。
• 提出一种控制器设计框架，允许控制器的McMillan阶数超过广义对象的阶数，通过引入额外动态以实现结构强制。
• 通过求解具有固定维度的有限维LMI系统来构建控制器，确保计算可处理性并实现控制器阶数的先验边界。
• 利用LMI框架，避免依赖Youla参数化及其相关的收敛性和维度问题。
• 通过数值示例验证该方法，与无结构控制器及逐步扩展长度增加的Youla参数化设计进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有块三角结构的嵌套互连系统，开发出$H_\infty$-最优输出反馈控制的直接状态空间解法？
• RQ2 是否能够通过凸优化方法，设计出具有先验固定阶数和维度的结构化$H_\infty$控制器？
• RQ3 为何基于Riccati方程的方法即使在该结构化设置下的状态反馈情形也存在不可行性？
• RQ4 如何通过将控制器动态扩展至超过对象的McMillan阶数，以实现结构约束？
• RQ5 LMI框架能否在不依赖迭代Youla参数化的情况下，实现精确最优性？

主要发现

• 所提出的基于LMI的方法首次为具有块三角结构的$H_\infty$-最优输出反馈控制提供了直接状态空间解法，在文献中尚无类似方法。
• 最优控制器的McMillan阶数最多为$np$，其中$n$为对象的阶数，$p$为嵌套块的数量，与$H_2$-最优综合已知的界一致。
• 该方法实现了控制器阶数和问题维度的先验指定，避免了Youla方法中使用的迭代子空间扩展。
• 数值结果表明，新方法在保持结构化控制律的同时，实现了与无结构控制器相同的最优$H_\infty$性能（$\gamma_{\rm full} = \gamma_{\rm str}$）。
• 对于$G^2_-$，当$l=8$时，Youla参数化对$\rho \in [-0.2, 0]$的近似质量较差，而新方法实现了精确最优性且计算成本更低。
• 该方法在准确性和计算时间方面均优于基于Youla的设计，尤其在$G^2_+$情形下表现更优，此时$\gamma_{\rm str} > \gamma_{\rm full}$，且即使在$l=8$时，Youla近似误差仍显著。