[论文解读] Structured Singular Value of a Repeated Complex Full-Block Uncertainty

Talha Mushtaq, Diganta Bhattacharjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2022

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 4

一句话总结

本文提出高效算法，用于计算具有重复复数全区块不确定性的系统中结构奇异值（μ）的更紧致的上下界——这类系统在流体动力学中很常见。通过使用基于梯度的中心法计算上界，以及广义幂迭代法计算下界，该方法在计算效率上优于将重复块近似为非重复块的传统方法，揭示了更精确的稳定性裕度。

ABSTRACT

The structured singular value (SSV), or mu, is used to assess the robust stability and performance of an uncertain linear time-invariant system. Existing algorithms compute upper and lower bounds on the SSV for structured uncertainties that contain repeated (real or complex) scalars and/or non-repeated complex full blocks. This paper presents algorithms to compute bounds on the SSV for the case of repeated complex full blocks. This specific class of uncertainty is relevant for the input output analysis of many convective systems, such as fluid flows. Specifically, we present a power iteration to compute a lower bound on SSV for the case of repeated complex full blocks. This generalizes existing power iterations for repeated complex scalar and non-repeated complex full blocks. The upper bound can be formulated as a semi-definite program (SDP), which we solve using a standard interior-point method to compute optimal scaling matrices associated with the repeated full blocks. Our implementation of the method only requires gradient information, which improves the computational efficiency of the method. Finally, we test our proposed algorithms on an example model of incompressible fluid flow. The proposed methods provide less conservative bounds as compared to prior results, which ignore the repeated full block structure.

研究动机与目标

• 解决现有方法在计算具有重复复数全区块不确定性的系统中结构奇异值（μ）上下界时效率不足的问题，此类系统在流体动力学与对流系统中普遍存在。
• 降低当重复全区块被近似为非重复块时所导致的μ界保守性，此类近似在MATLAB的Robust Control Toolbox等标准工具中常见。
• 开发计算高效的算法，利用梯度信息而非海森矩阵计算，以提升大规模系统中的可扩展性。
• 证明正确建模重复块结构对于准确解释平面Couette流等系统中不稳定性机理至关重要。

提出的方法

• 将μ的上界表述为一个半定规划（SDP）问题，通过中心法求解，仅使用梯度信息以提升计算效率。
• 将Packard等人提出的幂迭代法推广，用于计算重复复数全区块不确定性的μ下界，扩展了现有针对标量和非重复块的方法。
• 采用仅基于梯度的内点法实现上界算法，避免昂贵的海森矩阵计算。
• 将所提算法应用于不可压缩流体流动的4×4状态空间模型及一个合成的学术示例，以验证其性能与准确性。
• 与将重复全区块替换为非重复块的标准方法进行比较，结果表明保守性显著降低。
• 利用结构奇异值分析不同时间频率下的输入-输出增益，揭示物理不稳定性特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算具有重复复数全区块不确定性的系统中结构奇异值（μ）的上下界？
• RQ2 将重复复数全区块近似为非重复块对μ界及其在流体流动系统中的物理解释有何影响？
• RQ3 基于梯度的优化方法是否能在不损失精度的前提下提升μ计算的计算效率？
• RQ4 与忽略重复块结构的现有方法相比，所提方法如何揭示更准确的时间行为与不稳定性机理？
• RQ5 在单个重复复数全区块的情况下，真实μ与凸上界（D-标度）之间的差距是多少？

主要发现

• 所提出的基于梯度的中心法上界计算在计算效率上优于基于海森矩阵的方法，可扩展至大规模系统。
• 广义幂迭代法成功计算出重复复数全区块的更紧致μ下界，优于将它们视为非重复块的方法。
• 在ω = 1.896时，非重复近似得到的μ下界约为真实重复结构下界的1.7倍，表明存在显著保守性。
• 在非重复情况下，μ上界的全局峰值出现在ω > 0，而在重复情况下则出现在ω < 0，表明忽略重复结构可能导致对时间不稳定性行为的错误结论。
• 所提算法所得界比现有方法更不保守，提升了稳定性裕度估计的准确性，并有助于更精确地解释对流系统中不稳定性机理的物理解释。
• 在平面Couette流模型上的结果证实，建模重复块结构对于准确捕捉流体流动的真实输入-输出增益与不稳定性特征至关重要。