[论文解读] Structures de Jacobi sur une variété des points proches

Basile Guy Richard Bossoto|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了与光滑仿紧流形 $M$ 及局部代数 $A$（依安德烈·韦尔之定义）相关的无穷近点流形 $M^A$ 上的 $A$-雅可比结构。研究证明，若 $(M, \alpha, \omega)$ 为局部共形辛流形，则通过 $\mathfrak{X}(M^A)$ 上的 $A$-李-里内特-雅可比辛结构在 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上诱导的结构，构成一个良定义的 $A$-雅可比代数，该代数扩展了 $M$ 上的原始雅可比结构。

ABSTRACT

We consider a local algebra A (in the sense of André Weil), M a smooth paracompact manifold and M^{A} the manifold of infinietly near points on M of kind A. In this paper, we define and study the notions of A-Jacobi structures on M^{A}.

研究动机与目标

• 定义并研究光滑仿紧流形 $M$ 的无穷近点流形 $M^A$ 上的 $A$-雅可比结构。
• 利用局部代数 $A$ 的框架，将雅可比结构的概念从 $M$ 推广至 $M^A$。
• 在 $M$ 上的局部共形辛结构与 $M^A$ 上的 $A$-雅可比结构之间建立对应关系。
• 证明 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上的 $A$-雅可比结构自然源于 $\mathfrak{X}(M^A)$ 上的 $A$-李-里内特-雅可比辛结构。
• 证明 $M^A$ 上的 $A$-雅可比括号通过自然提升映射 $f \mapsto f^A$ 扩展了 $M$ 上的原始雅可比括号。

提出的方法

• 利用类型为 $A$ 的流形 $M^A$ 上的无穷近点，其中 $A$ 为有限维局部 $\mathbb{R}$-代数，且其唯一极大理想余维为 1。
• 构造 $M^A$ 上 $A$-值光滑函数的代数 $C^{\infty}(M^A, A)$，其成为一个交换单位元 $A$-代数。
• 通过 $\mathfrak{X}(M^A)$ 上的诱导 $A$-李-里内特-雅可比辛结构，利用辛形式 $\omega^A$ 和 1-形式 $\alpha^A$，在 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上定义 $A$-雅可比结构。
• 应用李-里内特代数及其雅可比扩张的理论，特别利用导子与阶数 $\leq 1$ 的算子的 $A$-线性扩张。
• 使用典范提升映射 $f \mapsto f^A$，将结构从 $C^{\infty}(M)$ 转移到 $C^{\infty}(M^A, A)$，确保与 $A$-模结构相容。
• 采用 $A$-微分算子的概念及其在 $C^{\infty}(M^A)$ 上的唯一扩张 $\widetilde{X}$，确保与 $A$-模作用及 $C^{\infty}(M)$ 上原始导子的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在光滑流形 $M$ 的无穷近点流形 $M^A$ 上定义 $A$-雅可比结构？
• RQ2 $M$ 上的局部共形辛结构与 $M^A$ 上诱导的 $A$-雅可比结构之间存在何种关系？
• RQ3 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上的 $A$-雅可比括号是否扩展了 $C^{\infty}(M)$ 上的原始雅可比括号？
• RQ4 $M^A$ 上的 $A$-微分算子与 $C^{\infty}(M)$ 上的导子之间有何关系？它们如何被提升至 $C^{\infty}(M^A, A)$？
• RQ5 $\mathfrak{X}(M^A)$ 上的 $A$-李-里内特-雅可比辛结构在何种条件下为辛结构？这对 $A$-雅可比代数意味着什么？

主要发现

• 在 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上的 $A$-雅可比结构由 $A$-李-里内特-雅可比辛结构 $\left(\mathfrak{X}(M^A), \rho_{\alpha^A}, \omega^A\right)$ 定义，其中 $\omega^A$ 关于 $A$-扭曲微分 $d_{\alpha^A}^A$ 非退化且闭。
• 若 $(M, \alpha, \omega)$ 为局部共形辛流形，则 $\left(\mathfrak{X}(M^A), \rho_{\alpha^A}, \omega^A\right)$ 为 $A$-李-里内特-雅可比辛结构。
• $C^{\infty}(M^A, A)$ 上的 $A$-雅可比括号由 $\{F, G\}_{\omega^A} = -\omega^A(X_F, X_G)$ 给出，其中 $X_F$ 为与 $F$ 关联的哈密顿向量场。
• 对 $f \in C^{\infty}(M)$，与 $f^A$ 关联的 $M^A$ 上的哈密顿向量场满足 $X_{f^A} = (X_f)^A$，确保与提升映射的相容性。
• $A$-雅可比括号满足 $\{f^A, g^A\}_{\omega^A} = \{f, g\}^A$，证明了 $M^A$ 上的 $A$-雅可比结构扩展了 $M$ 上的原始雅可比结构。
• 该构造为 $M$ 上的雅可比结构提供了到 $M^A$ 的典范 $A$-线性扩张，保持了原始结构的代数与几何性质。