[论文解读] Sturm Liouville Equations in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels and their discrete versions

Raziye Mert, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文利用阿坦加纳-巴莱阿努分数阶导数（具有梅尔特-莱夫勒核）在连续和离散（下三角）情形下，引入并分析了分数阶斯图姆-刘维尔方程（SLEs）。通过应用这些算子的分部积分公式，作者建立了自伴性、实特征值和正交特征函数，将经典SLE理论扩展至具有改进数值性质的非奇异分数阶算子。

ABSTRACT

Very recently, some authors have studied new types of fractional derivatives whose kernels are nonsingular. In this article, we study Sturm-Liouville Equations ($SLEs$) in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels. We formulate some Fractional Sturm-Liouville Problems ($FSLPs$) with the diffferential part containing the left and right sided derivatives. We investigate the self-adjointness, eigenvalue and eigenfunction properties of the corresponding Fractional Sturm-Liouville Operators ($FSLOs$) by using fractional integration by parts formulas. The nabla discrete version of our results are also established.

研究动机与目标

• 将经典斯图姆-刘维尔理论扩展至具有非奇异梅尔特-莱夫勒核的分数阶算子。
• 利用左向和右向ABR与ABC分数阶导数制定分数阶斯图姆-刘维尔问题（FSLPs）。
• 建立相应分数阶斯图姆-刘维尔算子（FSLOs）的自伴性、特征值和特征函数性质。
• 发展连续FSLP框架的离散（下三角）对应形式。
• 提出一个开放问题：对于 α ∈ (1, 3/2) 的高阶离散FSLPs，是否存在可能在 α → 1⁺ 时恢复经典差分形式的潜力。

提出的方法

• 利用左向和右向ABR与ABC分数阶导数（具有梅尔特-莱夫勒核）制定连续FSLPs。
• 应用源自 [24, 33] 的分数阶分部积分公式，分析自伴性与特征结构。
• 通过使用带有离散梅尔特-莱夫勒核的下三角ABR与ABC分数阶差分，定义离散（下三角）FSLP。
• 利用离散分部积分（定理4）在离散情形下证明特征值与特征函数的性质。
• 利用广义梅尔特-莱夫勒函数 $ E^{ ho}_{eta,eta}(z) $ 表达分数阶算子及其逆算子。
• 通过参数变换，建立高阶分数阶差分（α ∈ (1, 3/2)）与二阶差分之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在连续情形下利用ABR与ABC分数阶导数（具有梅尔特-莱夫勒核）制定分数阶斯图姆-刘维尔问题？
• RQ2 由此产生的分数阶斯图姆-刘维尔算子是否表现出自伴性、实特征值和正交特征函数？
• RQ3 连续框架能否扩展至具有类似性质的离散（下三角）情形？
• RQ4 当 α → 1⁺ 时，离散FSLP的行为如何？其是否能恢复经典离散SLE？
• RQ5 对于 α ∈ (1, 3/2) 的ABR与ABC分数阶差分，是否存在分部积分公式以支持高阶离散FSLP的谱分析？

主要发现

• 连续分数阶斯图姆-刘维尔算子 $ {}^{C}L_1 $ 关于内积 $ \braket{f,g} = \frac{1}{B(\beta)}\braket{f,g}_{L^2} $ 是自伴的，确保了实特征值。
• 通过分部积分和算子 $ {}^{C}L_1 $ 的自伴性，证明了连续FSLP的特征值为实数。
• 对应于不同特征值的特征函数关于权函数 $ r(t) $ 正交，满足 $ \braket{x_{\nu_1}, x_{\nu_2}} = 0 $（当 $ \nu_1 \neq \nu_2 $ 时）。
• 在 $ \mathbb{N}_{a,b} $ 上定义的FSLP离散版本，也在内积 $ \braket{f,g} = \sum_{t=a+1}^{b} r(t)f(t)g(t) $ 下产生实特征值和正交特征函数。
• 离散算子 $ {}^{dC}L_1 $ 是自伴的，其特征函数关于权 $ r(t) $ 正交，这是通过离散分部积分证明的。
• 提出一个开放问题：能否为 ABR 与 ABC 分数阶差分（阶数 $ \alpha \in (1, \frac{3}{2}) $）建立分部积分公式，以支持高阶离散FSLP的谱分析？