[论文解读] SU(3)-structures and Special Lagrangian Geometries

Feng Xu|ArXiv.org|Oct 17, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文引入了可接受的 SU(3)-结构及其子类——近 Calabi-Yau 结构，通过允许非可积的几乎复结构，推广了 Calabi-Yau 3-流形，同时保持了丰富的特殊拉格朗日子流形几何。该文从自对偶爱因斯坦 4-流形的扭量空间构造了显式例子，并证明了在近 Calabi-Yau 流形中，紧致特殊拉格朗日子流形的模空间是有限维的，与 Calabi-Yau 情况一致。

ABSTRACT

We generalize Calabi-Yau 3-folds from the special Lagrangian perspective. More precisely, we study SU(3)-structures which admit as "nice" a local special Lagrangian geometry as the flat $\mathbf{C}^3$ or a Calabi-Yau structure does. The underlying almost complex structure may not be integrable. Such SU(3)-structures are called {\it admissible}. Among these, we are particularly interested in a subclass of SU(3)-structures called {\it nearly Calabi-Yau}. We discuss the local generalities of admissible SU(3)-structures and nearly Calabi-Yau structures in Cartan's sense. Examples of nearly Calabi-Yau but non-Calabi-Yau structures as well as other admissible SU(3)-structures are constructed from the twistor spaces of self-dual Einstein 4-manifolds. Two classes of examples of complete special Lagrangian submanifolds are found by considering the anti-complex involution of the underlying SU(3)-structures. We finally show that the moduli space of compact special Lagrangian submanifolds in a nearly Calabi-Yau manifold behaves in the same way as the moduli in the Calabi-Yau case.

研究动机与目标

• 通过研究支持与平坦 C^3 或 Calabi-Yau 流形同样多的局部特殊拉格朗日子流形的 SU(3)-结构，推广 Calabi-Yau 3-流形。
• 定义并分析可接受的 SU(3)-结构——即特殊拉格朗日子流形外微分系统为对合的结构，允许非可积的几乎复结构。
• 引入并研究可接受结构的一个子类，称为近 Calabi-Yau 结构，由于全局对合性，其几何行为比一般可接受结构更稳健。
• 利用自对偶爱因斯坦 4-流形的扭量空间，构造完全的、非 Calabi-Yau 的可接受 SU(3)-结构的例子。
• 证明在近 Calabi-Yau 流形中，紧致特殊拉格朗日子流形的模空间是有限维的，与 Calabi-Yau 情况类似。

提出的方法

• 通过 Cartan 的 EDS 理论推导的特殊拉格朗日子流形外微分系统的对合性，定义可接受的 SU(3)-结构。
• 将近 Calabi-Yau 结构作为子类引入，其 PDE 系统处处对合，确保更优的几何行为。
• 利用自对偶爱因斯坦 4-流形上的扭量构造，这些流形自然携带 SU(3)-结构。
• 利用 SU(3)-结构上的反复共轭对合，将固定集作为完全的特殊拉格朗日子流形。
• 在巴拿赫空间中应用隐函数定理，证明在近 Calabi-Yau 流形中存在特殊拉格朗日子流形的 1-参数族。
• 利用 Hodge 理论和李导数分析模空间的切空间，证明其为有限维，维数为 b^1(N_0)+1。

实验结果

研究问题

• RQ1 SU(3)-结构能否在不依赖可积复结构的前提下，推广至支持丰富局部特殊拉格朗日子流形几何的 Calabi-Yau 之外？
• RQ2 什么条件能确保特殊拉格朗日子流形外微分系统为对合？这些条件如何推广 Calabi-Yau 条件？
• RQ3 是否存在非 Calabi-Yau 的 SU(3)-结构，仍能容纳完全的特殊拉格朗日子流形？
• RQ4 与 Calabi-Yau 流形相比，近 Calabi-Yau 流形中紧致特殊拉格朗日子流形的模空间行为如何？
• RQ5 SU(3)-结构上的反复共轭对合能否用于显式构造完全的特殊拉格朗日子流形？

主要发现

• 可接受的 SU(3)-结构通过允许非可积的几乎复结构，推广了 Calabi-Yau 3-流形，同时保持了局部特殊拉格朗日子流形几何。
• 近 Calabi-Yau 结构是可接受 SU(3)-结构的一个子类，其 PDE 系统处处对合，使其更适用于几何分析。
• 利用自对偶爱因斯坦 4-流形的扭量空间，构造了非 Calabi-Yau 的可接受 SU(3)-结构的例子，包括双曲 4-空间及其紧致商。
• SU(3)-结构上反复共轭对合的固定集产生完全的特殊拉格朗日子流形，提供了在近凯勒复射影 3-空间和双曲 4-空间扭量空间中显式构造的例子。
• 在近 Calabi-Yau 流形中，紧致特殊拉格朗日子流形的模空间是有限维的，维数为 b^1(N_0)+1，与 Calabi-Yau 情况一致。
• 通过巴拿赫空间中的隐函数定理，结合 Hodge 理论和李导数分析，确立了在近 Calabi-Yau 流形中存在特殊拉格朗日子流形 1-参数族的存在性。