[论文解读] SU(3)-structures on submanifolds of a Spin(7)-manifold

Stefan Ivanov, Francisco Martı́n Cabrera|ArXiv.org|Oct 19, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文研究了Spin(7)-流形中六维子流形上的局部SU(3)-结构，通过环境Spin(7)-结构的固有挠率和形状算子推导其类型。结果表明，当且仅当子流形位于一个三维平面内时，存在一个全纯的局部(3,0)-形式，从而恢复了Calabi的例子，并证实该形式关于唯一的具有完全反对称挠率的Hermitian连接是平行的。

ABSTRACT

Local SU(3)-structures on an oriented submanifold of Spin(7)-manifold are determined and their types are characterized in terms of the shape operator and the type of the Spin(7)-structure. An application to Bryant \cite{MR89b:53084} and Calabi \cite{MR24 #A558} examples is given. It is shown that the product of a Cayley plane and a minimal surface lying in a four-dimensional orthogonal Cayley plane with the induced complex structure from the octonions described by Bryant in \cite{MR89b:53084} admits a holomorphic local complex volume form exactly when it lies in a three-plane, i.e. it coincides with the example constructed by Calabi in \cite{MR24 #A558}. In this case the holomorphic (3,0)-form is parallel with respect to the unique Hermitian connection with totally skew-symmetric torsion.

研究动机与目标

• 确定Spin(7)-流形中六维子流形上诱导的局部SU(3)-结构。
• 根据环境Spin(7)-结构的固有挠率和子流形的形状算子，表征这些SU(3)-结构的类型。
• 研究此类子流形上是否存在全holomorphic局部复体积形式。
• 将结果应用于Bryant和Calabi的例子，特别识别出诱导的(3,0)-形式为闭且平行的条件。

提出的方法

• 本文利用环境Spin(7)-结构的基本四形式Φ，通过选择局部标准正交法向标架，在六维子流形上诱导出局部SU(3)-结构。
• 将Spin(7)-结构的固有挠率用dΦ表示，通过外导数推导出∇Φ的显式公式。
• 通过分析法丛连接和形状算子分量的分解，对诱导的SU(3)-结构类型进行分类。
• 利用Levi-Civita连接和法丛连接，将环境几何与子流形的内在几何联系起来。
• 应用G-结构和固有挠率理论，对不同类别的Spin(7)-流形中的SU(3)-结构类型进行分类。
• 分析包括在M⁸ = O（八元数）情况下的显式计算，其中详细研究了Bryant的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，Spin(7)-流形的六维子流形会从环境几何中继承局部SU(3)-结构？
• RQ2 子流形的形状算子如何决定诱导的SU(3)-结构的类型？
• RQ3 诱导的SU(3)-结构在何时允许存在全holomorphic局部(3,0)-形式，其几何意义是什么？
• RQ4 环境Spin(7)-结构的固有挠率与诱导SU(3)-结构的类型之间存在何种精确关系？
• RQ5 在Bryant和Calabi的例子中，Cayley平面与极小曲面的积在何时允许存在全holomorphic体积形式？

主要发现

• 当且仅当子流形是极小的且几乎复结构是可积时，六维子流形上诱导的SU(3)-结构为W₃型（平衡型）。
• 当且仅当子流形位于一个三维平面内时，子流形上存在全holomorphic局部(3,0)-形式，这恰好对应于Calabi的例子。
• 在此情况下，全holomorphic (3,0)-形式关于唯一的具有完全反对称挠率的Hermitian连接是平行的。
• 当环境Spin(7)-结构为平行时，子流形的Lee形式消失，且当几乎复结构可积时，诱导的SU(3)-结构为平衡型。
• 对于局部共形平行的Spin(7)-结构，诱导的SU(3)-结构为全测地线当且仅当f*θ⁸ = 0且子流形位于W₅类中。
• 本文通过基于形状算子和固有挠率的新方法，恢复了Gray对SU(3)-结构的结果，为所有Spin(7)-类提供了统一的分类。