[论文解读] Sub classes of Bi-Univalent Functions Defined by Salagean type $q-$ Difference Operator

G. Murugusundaramoorthy, K. Vijaya|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Analytic and geometric function theory被引用 3

一句话总结

本文引入了一类基于Sálăgean型$q$-差分算子的新型双亚纯函数子类，并在次序条件约束下建立了系数$|a_2|$与$|a_3|$的精确估计。此外，还为该新函数类推导出Fekete-Szegő不等式，推广了经典分析与$q$-微积分框架下的已有结果。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and investigate a new subclass of the function class $Σ$ of bi-univalent functions defined in the open unit disk, which are associated with the Sălăgean type $q-$ difference operator and satisfy some subordination conditions. Furthermore, we find estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients $|a_2|$ and $|a_3|$ for functions in the new subclass introduced here. Several (known or new) consequences of the results are also pointed out. Further we obtain Fekete-Szeg$\ddot{o}$ inequality for the new function class.

研究动机与目标

• 通过Sálăgean型$q$-差分算子在单位圆内定义双亚纯函数的新子类。
• 在涉及具有正实部的一般解析函数$\phi(z)$的次序条件约束下，建立$|a_2|$与$|a_3|$的系数估计。
• 为新函数类推导Fekete-Szegő不等式，推广了单值函数理论中的已知结果。
• 统一并扩展了在$q$-微积分与双亚纯函数背景下现有的系数界。
• 为未来关于Hankel行列式与高阶系数估计的研究提供理论框架。

提出的方法

• 为单位圆内解析函数定义Sálăgean型$q$-差分算子$\mathcal{D}_q^k f(z)$。
• 通过次序条件引入双亚纯函数的两个新子类$\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$与$\mathcal{F}\Sigma_q^k(\mu,\phi)$。
• 利用逆函数展开$f^{-1}(w) = w - a_2 w^2 + (2a_2^2 - a_3)w^3 + \cdots$建立$f$与$f^{-1}$系数之间的关系。
• 应用次序理论与系数估计，使用具有$B_1 > 0$的广义函数$\phi(z) = 1 + B_1 z + B_2 z^2 + \cdots$。
• 通过Schwarz引理，利用具有正实部的辅助函数$p(z)$与$q(z)$，推导出$a_2$与$a_3$的不等式。
• 通过涉及参数化表达式$\Theta(\tau)$与$\Phi(\tau)$，推导出$|a_3 - \tau a_2^2|$的Fekete-Szegő不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过Sálăgean型$q$-差分算子定义的新双亚纯函数子类中，初始系数$|a_2|$与$|a_3|$的精确估计是什么？
• RQ2 系数界如何依赖于参数$q$、$k$、$\lambda$、$\mu$以及次序函数$\phi(z)$的系数$B_1$、$B_2$？
• RQ3 新函数类的Fekete-Szegő不等式是什么？它如何推广已知结果？
• RQ4 当$q \to 1^-$且$k=0$时，结果如何退化为经典情形？
• RQ5 该方法在计算高阶Hankel行列式方面具有何种潜在扩展性？

主要发现

• 系数$|a_2|$的估计为$|a_2| \leq \frac{B_1}{2(1+\lambda)[2]_q^k} \sqrt{\frac{1}{(1+\lambda)[2]_q^{2k} + (B_1 - B_2)[2]_q^{2k}}}$，在特定条件下取等。
• 系数$|a_3|$的估计为$|a_3| \leq B_1 \left( \frac{B_1}{(1+\mu)^2[2]_q^{2k}} + \frac{1}{(1+2\mu)[3]_q^k} \right)$，由系数关系与次序约束导出。
• 对于$\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$类的Fekete-Szegő不等式为$|a_3 - \tau a_2^2| \leq \max\left\{ \frac{B_1}{2(1+2\lambda)[3]_q^k}, 4B_1|\Theta(\tau)| \right\}$，其结果取决于$|\Theta(\tau)|$。
• 当$\mu = 0$或$\mu = 1$，且$\phi(z)$按(1.3)或(1.4)选取时，边界退化为强星形函数与阶为$\alpha$或$\beta$的星形函数的已知估计。
• 当$k=0$且$q \to 1^-$时，结果恢复了早期文献（如[4, 6, 16]）中的经典系数界。
• 该框架可通过将系数分析扩展至$a_4$，为未来Hankel行列式的计算提供可能。