[论文解读] Sub-criticality of non-local Schrödinger systems with antisymmetric potentials and applications to half-harmonic maps

Francesca Da Lio, Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用 33

一句话总结

本文建立了在一维情况下具有反对称势的非局部Schrödinger系统的次临界正则性，证明弱$L^2$解实际上属于所有$p < \infty$的局部$L^p$。通过构造一种使用新颖非局部规范条件的特殊规范变换，作者获得了改进的可积性，并在Besov与Hardy空间中应用换位子估计，最终证明了映射到无边界紧致$C^2$流形上的半调和映射具有$C^{0,\alpha}_{\text{loc}}$正则性。

ABSTRACT

We consider nonlocal linear Schrödinger-type critical systems of the type \begin{equation}\label{eqabstr} Δ^{1/4} v=Ω\, v~~~\mbox{in $\R\,.$} \ \end{equation} where $Ω$ is antisymmetric potential in $L^2(\R,so(m))$, $v$ is a ${\R}^m$ valued map and $Ω\, v$ denotes the matrix multiplication. We show that every solution $v\in L^2(\R,\R^m)$ of ec{eqabstr} is in fact in $L^p_{loc}(\R,\R^m)$, for every $2\le p

研究动机与目标

• 建立一维具有反对称势的非局部Schrödinger系统的次临界正则性。
• 将局部系统中观察到的次临界性现象扩展到涉及分数阶拉普拉斯算子$\Delta^{1/4}$的非局部情形。
• 证明弱$1/2$-调和映射映射到无边界紧致$C^2$流形时的局部Hölder正则性。
• 构造一个规范变换$P \in \dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}, SO(m))$，使其最优地整合反对称势$\Omega \in L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{so}(m))$。
• 发展并应用Besov与Hardy空间中的换位子估计，以控制变换后系统中的非线性项。

提出的方法

• 引入非局部规范条件：$ \mathrm{Asymm}(P^{-1}\Delta^{1/4}P) = \Omega $，取代局部情形中使用的库仑规范。
• 通过$\dot{H}^{1/2}$中的摄动论证构造规范$P$，当$\|\Omega\|_{L^2} < \varepsilon$（$\varepsilon > 0$足够小时）成立，确保$P$在$\dot{H}^{1/2}$中有界且定义良好。
• 应用规范变换$w = Pv$，将原系统$\Delta^{1/4}v = \Omega v$转化为包含$\Delta^{1/4}w = -\mathrm{symm}(\Delta^{1/4}P P^{-1})w + N(P,v)$的新系统，其中$N$为双线性换位子项。
• 利用频率局部化与二进分解估计$L^q$与Hardy空间$\mathcal{H}^1$中的双线性换位子$N(Q,v)$，依赖于Riesz变换的有界性及Besov空间的性质。
• 在Besov空间$B^{0}_{\infty,\infty}$与$B^{0}_{1,1}$中建立关键估计，并利用嵌入关系$\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}) \hookrightarrow BMO(\mathbb{R})$控制振荡项。
• 利用算子$F^*$的对偶性，估计$\|\Delta^{1/4}(Qv) - \Delta^{1/4}\mathcal{R}(\mathcal{R}(Q)v)\|_{\mathcal{H}^1} \lesssim \|Q\|_{L^2}\|v\|_{\dot{H}^{1/2}}$，以控制变换后系统中的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将局部Schrödinger系统中具有反对称势时观察到的次临界正则性现象推广到涉及$\Delta^{1/4}$的非局部系统？
• RQ2 在$\Omega \in L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{so}(m))$下，反对称势是否能对$\Delta^{1/4}v = \Omega v$的解$v \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$产生改进的可积性？
• RQ3 能否构造一个合适的规范变换$P \in \dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}, SO(m))$，使得变换后的系统展现出更好的正则性？
• RQ4 在Besov与Hardy空间中的换位子估计在控制规范变换引起的非线性项中起什么作用？
• RQ5 能否通过这种非局部规范方法建立弱$1/2$-调和映射到无边界紧致$C^2$流形的正则性？

主要发现

• 对于所有$1 \leq p < \infty$，弱解$v \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$满足非局部系统$\Delta^{1/4}v = \Omega v$且$\Omega \in L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{so}(m))$，其属于$\mathbb{R}^m$值函数的局部$L^p$空间，尽管该系统在$a\ priori$意义下属于临界$\dot{H}^{1/2}$，但表现出次临界行为。
• 当$\|\Omega\|_{L^2} < \varepsilon$时，存在规范变换$P \in \dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}, SO(m))$，满足$P^{-1}\Delta^{1/4}P - \Delta^{1/4}P^{-1}P = 2\Omega$且$\|\Delta^{1/4}P\|_{L^2} \leq C\|\Omega\|_{L^2}$，从而可将系统变换为更规则的形式。
• 双线性换位子$N(Q,v) = \Delta^{1/4}(Qv) - Q\Delta^{1/4}v + \Delta^{1/4}Q\,v$有界地从$L^2 \times \dot{H}^{1/2}$映射到$\mathcal{H}^1$，其范数受$\|Q\|_{L^2}\|v\|_{\dot{H}^{1/2}}$控制，这对正则性的传播至关重要。
• 变换后的系统$\Delta^{1/4}w = -\mathrm{symm}(\Delta^{1/4}P P^{-1})w + N(P,v)$允许改进的可积性估计，从而推出$w \in L^p_{\text{loc}}$对所有$p < \infty$成立，因此$v \in L^p_{\text{loc}}$。
• 作为推论，弱$1/2$-调和映射到$C^2$紧致流形且无边界的正则性被证明为局部Hölder连续，即$C^{0,\alpha}_{\text{loc}}$，解决了非局部情形下的一个正则性问题。
• 该证明依赖于在Besov与Hardy空间中的新颖换位子估计，包括嵌入关系$\dot{H}^{1/2}(\mathbb{R}) \hookrightarrow BMO(\mathbb{R})$，以及专为分数阶拉普拉斯算子设计的非局部规范条件。