[论文解读] Sub-diffusion processes in Hilbert space and their associated stochastic differential equations and Fokker-Planck-Kolmogorov equations

Lise Chlebak, Patricia Garmirian+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文引入时间变换的Q-Wiener过程作为希尔伯特空间值的次扩散过程，建立了其鞅性质，并通过时间变换伊藤微积分与对偶性推导出随机微分方程（SDEs）和分数阶福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫（FPK）方程。主要贡献在于推导出时间变换SDE解的时间分数阶FPK方程，表明时间变换过程满足 $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $，其中 $ D_t^\beta $ 为卡波托分数阶导数，$ L_0^* $ 为底层SDE生成元的伴随算子。

ABSTRACT

This paper focuses on the time-changed Q-Wiener process, a Hilbert space-valued sub-diffusion. It is a martingale with respect to an appropriate filtration, hence a stochastic integral with respect to it is definable. For the resulting integral, two change of variables formulas are derived. Via a duality theorem for integrals, existence and uniqueness theorems for stochastic differential equations (SDEs) driven by the time-changed Q-Wiener process are discussed. Associated fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equations are derived using either a time-changed Itô formula or duality. Connections are established between three integrals driven by time-changed versions of the Q-Wiener process, cylindrical Wiener process, and martingale measure.

研究动机与目标

• 通过时间变换的Q-Wiener过程将次扩散过程推广至无穷维希尔伯特空间。
• 在希尔伯特空间中建立由时间变换Q-Wiener过程驱动的随机微分方程（SDEs）解的存在性与唯一性。
• 通过两种方法（时间变换伊藤公式与对偶性）推导时间变换SDE的分数阶福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫（FPK）方程。
• 建立三类随机积分之间的联系：由时间变换Q-Wiener过程驱动的积分、由时间变换圆柱Wiener过程驱动的积分，以及由鞅测度驱动的积分。

提出的方法

• 将时间变换的Q-Wiener过程定义为由逆稳定子序数时间变换的Q-Wiener过程，确保其在希尔伯特空间中为平方可积鞅。
• 为关于时间变换Q-Wiener过程的随机积分推导出两种变量替换公式，包括适用于伊藤过程的时间变换伊藤公式。
• 利用时间变换与非时间变换SDE之间的对偶性，建立时间变换SDE的弱解与强解的存在性与唯一性。
• 通过使用对偶性与富比尼定理，建立由时间变换Q-Wiener过程、圆柱Wiener过程及鞅测度驱动的积分之间的联系。
• 利用拉普拉斯变换与对偶性推导分数阶FPK方程，表明解的分布的时间分数阶导数等于生成元伴随算子作用于分布的结果。
• 将时间变换SDE的解表示为 $ X(t) = Y(E_t) $，其中 $ Y $ 满足经典SDE，$ E_t $ 为逆子序数，从而通过拉普拉斯变换技术推导FPK方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过时间变换的Q-Wiener过程将次扩散过程推广至无穷维希尔伯特空间？
• RQ2 时间变换Q-Wiener过程的随机微积分性质是什么，包括变量替换与伊藤公式？
• RQ3 在希尔伯特空间中，由时间变换Q-Wiener过程驱动的SDE的解的存在性与唯一性条件是什么？
• RQ4 时间变换SDE的概率分布如何满足分数阶福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫方程？
• RQ5 由时间变换Q-Wiener过程、圆柱Wiener过程及鞅测度驱动的随机积分之间存在何种关系？

主要发现

• 时间变换的Q-Wiener过程是希尔伯特空间中的平方可积鞅，其连续变差过程与二次变差过程可显式计算。
• 为关于时间变换Q-Wiener过程的随机积分推导出两种变量替换公式，支持时间变换伊藤微积分的发展。
• 利用Grecksch与Tudor关于希尔伯特空间中鞅的研究结果，建立了时间变换SDE弱解的存在性与唯一性。
• 通过与对应非时间变换SDE的对偶性，证明了时间变换SDE强解的存在性与唯一性。
• 时间变换SDE的解满足 $ X(t) = Y(E_t) $，其中 $ Y $ 满足经典SDE，$ E_t $ 为逆子序数，从而支持时间分数阶FPK方程的推导。
• 解的分布满足时间分数阶福克-普朗克-柯尔莫哥洛夫方程 $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $，其中 $ D_t^\beta $ 为卡波托分数阶导数，$ L_0^* $ 为底层SDE生成元的伴随算子。