[论文解读] Sub-homogeneous positive monotone systems are insensitive to heterogeneous time-varying delays

Hamid Reza Feyzmahdavian, Themistoklis Charalambous+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 34被引用 8

一句话总结

该论文证明了：对于具有有界异质时变延迟的次齐次正单调系统，其全局渐近稳定当且仅当对应的无时滞系统是全局渐近稳定的。该结果通过将时变延迟系统转化为常数延迟系统，将延迟无关性从常数延迟推广至时变延迟，并利用单调性和次齐次性特性，在任意有界延迟下建立了稳定性。

ABSTRACT

We show that a sub-homogeneous positive monotone system with bounded heterogeneous time-varying delays is globally asymptotically stable if and only if the corresponding delay-free system is globally asymptotically stable. The proof is based on an extension of a delay-independent stability result for monotone systems under constant delays by Smith to systems with bounded heterogeneous time-varying delays. Under the additional assumption of positivity and sub-homogeneous vector fields, we establish the aforementioned delay insensitivity property and derive a novel test for global asymptotic stability. If the system has a unique equilibrium point in the positive orthant, we prove that our stability test is necessary and sufficient. Specialized to positive linear systems, our results extend and sharpen existing results from the literature.

研究动机与目标

• 在有界异质时变延迟下，建立次齐次正单调系统的延迟免疫性。
• 将现有常数延迟下的延迟无关稳定性结果，从常数延迟推广至单调系统中的时变延迟。
• 为具有正象限内唯一平衡点的此类系统，提供必要且充分的稳定性检验方法。
• 推广先前关于正线性系统和具有常数延迟的非线性正系统的结果。
• 通过变换技术与单调性论证，在时变延迟存在下验证稳定性准则。

提出的方法

• 使用时间尺度变换，将具有异质时变延迟的系统转化为等价的常数延迟系统。
• 利用向量场的协作性（即Metzler雅可比矩阵）结构，确保轨迹的单调性。
• 应用向量场的次齐次性，以边界解并建立通过与极端轨迹比较实现收敛。
• 利用从零初始值和上界初始值出发的解均收敛至平衡点的事实，对所有中间初始条件进行夹逼。
• 通过证明所有非负初始条件均导致轨迹收敛至唯一平衡点，从而证明全局渐近稳定性。
• 在正性和次齐次性假设下，证明无时滞稳定性条件的必要性与充分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 次齐次正单调系统是否对有界异质时变延迟具有免疫性？
• RQ2 单调系统在常数延迟下的延迟无关稳定性特性，能否推广至时变延迟？
• RQ3 无时滞系统的全局渐近稳定性是否为在任意有界时变延迟下系统稳定的必要且充分条件？
• RQ4 次齐次性在具有时变延迟的非线性正系统中如何增强稳定性鲁棒性？
• RQ5 该稳定性检验方法是否可应用于正线性系统，并推广至非线性情形？

主要发现

• 具有有界异质时变延迟的次齐次正单调系统，其全局渐近稳定当且仅当对应的无时滞系统是全局渐近稳定的。
• 该稳定性结果适用于在正象限内具有唯一平衡点的系统，此时检验条件既必要又充分。
• 证明表明，从零和上界初始值出发的轨迹均收敛至平衡点，从而可对所有中间轨迹实现夹逼。
• 通过转化为常数延迟系统，使得延迟无关稳定性结果可应用于时变延迟情形。
• 该结果推广并强化了现有正线性系统的稳定性准则，并将其扩展至更广泛的非线性系统类别。
• 正性和次齐次性共同确保系统在任意有界时变延迟下保持稳定，即使延迟变化破坏了标准证明中的单调性。