[论文解读] Sub-Planckian black holes and the Generalized Uncertainty Principle

B. J. Carr, Jonas Mureika+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种自对偶的类史瓦西度规，可在经典黑洞与亚普朗克尺度物体之间插值，推导出形式为 $\Delta x \sim \frac{1}{\Delta p} + \Delta p$ 的广义不确定性原理（GUP）。该解在亚普朗克尺度下表现出有效维度约化至 (1+1)D 引力，并预测质量约为 $10^{-36}$ g 的亚普朗克黑洞可能为稳定遗迹，贡献于暗物质，其温度随质量线性变化，而非如标准情况下的 $M^{-1}$。

ABSTRACT

The Black Hole Uncertainty Principle correspondence suggests that there could exist black holes with mass beneath the Planck scale but radius of order the Compton scale rather than Schwarzschild scale. We present a modified, self-dual Schwarzschild-like metric that reproduces desirable aspects of a variety of disparate models in the sub-Planckian limit, while remaining Schwarzschild in the large mass limit. The self-dual nature of this solution under $M \leftrightarrow M^{-1}$ naturally implies a Generalized Uncertainty Principle with the linear form $Δx \sim \frac{1}{Δp} + Δp$. We also demonstrate a natural dimensional reduction feature, in that the gravitational radius and thermodynamics of sub-Planckian objects resemble that of $(1+1)$-D gravity. The temperature of sub-Planckian black holes scales as $M$ rather than $M^{-1}$ but the evaporation of those smaller than $10^{-36}$g is suppressed by the cosmic background radiation. This suggests that relics of this mass could provide the dark matter.

研究动机与目标

• 通过构建一种在经典黑洞与亚普朗克尺度物体之间平滑插值的度规，统一黑体不确定性原理对应关系。
• 直接从自对偶黑洞解的几何结构推导广义不确定性原理（GUP），而非预先假设其形式。
• 研究亚普朗克黑洞的热力学性质，特别是其温度标度以及由于宇宙背景辐射导致的蒸发抑制。
• 探讨量子引力中有效维度约化的可能性，表明亚普朗克黑洞的行为类似于 (1+1) 维系统。
• 评估质量接近 $10^{-36}$ g 的亚普朗克黑洞作为暗物质候选者的天体物理学可行性。

提出的方法

• 提出在 $M \leftrightarrow M^{-1}$ 下自对偶的度规，其在大质量极限下退化为标准史瓦西度规，并在亚普朗克尺度下修正视界半径。
• 从度规的自对偶性推导 GUP，得到 $\Delta x \sim \frac{1}{\Delta p} + \Delta p$，其中第二项源于普朗克尺度的引力修正。
• 应用表面引力法计算修正黑洞的霍金温度，与基于 GUP 的热力学推导结果一致。
• 证明亚普朗克黑洞的质量-半径关系与 (1+1) 维引力形式一致，表明存在有效维度约化。
• 利用 GUP 计算位置的最小不确定性，并将其与康普顿波长和史瓦西半径关联，显示在普朗克尺度附近实现平滑过渡。
• 分析蒸发 timescale 并与宇宙年龄比较，表明质量低于 $10^{-36}$ g 的黑洞因 CMB 温度抑制而稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种自对偶度规，使亚普朗克尺度下的史瓦西尺度与康普顿尺度统一，同时在大质量极限下保持经典性？
• RQ2 该度规的自对偶性质是否自然导出形式为 $\Delta x \sim \frac{1}{\Delta p} + \Delta p$ 的广义不确定性原理？
• RQ3 在该修正度规下，亚普朗克黑洞的热力学性质（尤其是温度标度）如何？
• RQ4 亚普朗克黑洞的有效行为是否类似于 (1+1) 维引力，表明存在维度约化？
• RQ5 在 CMB 抑制蒸发的条件下，质量约为 $10^{-36}$ g 的亚普朗克黑洞是否可能为稳定遗迹并贡献于暗物质？

主要发现

• 所提出的自对偶度规在大质量极限下重现史瓦西解，并在亚普朗克尺度下修正视界半径，实现了粒子与黑洞态之间的平滑过渡。
• 该度规自然导出形式为 $\Delta x \sim \frac{1}{\Delta p} + \Delta p$ 的 GUP，其中第二项源于普朗克尺度的引力修正。
• 亚普朗克黑洞的温度与质量呈线性关系（$T \sim M$），而非标准霍金辐射中的 $M^{-1}$ 关系。
• 质量低于 $10^{-36}$ g 的黑洞因宇宙微波背景辐射的抑制而蒸发被抑制，因此在宇宙时标下为稳定遗迹。
• 亚普朗克黑洞的质量-半径关系与 (1+1) 维引力一致，表明在量子 regime 下存在有效维度约化。
• 本文识别出一种可能的暗物质候选者：质量 $M \sim 10^{-36}$ g 的亚普朗克黑洞，其因 CMB 温度匹配而稳定。