[论文解读] Sub-Riemannian geometry and Lie groups. Part I

Marius Buliga|ArXiv.org|Oct 13, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文通过重新定义通过非交换导数和Pansu可微性得到的切丛，提出了一套关于李群上子黎曼几何的新框架，证明了在卡诺群之间几乎处处成立的双-Lipschitz映射具有度量交换可微性，其虚拟切映射为同构。其核心贡献在于为锥群建立了子黎曼版本的Rademacher定理，通过内在微分几何将度量几何与李群结构联系起来。

ABSTRACT

These pages covers my expository talks during the seminar "Sub-Riemannian geometry and Lie groups" organised by the author and Tudor Ratiu at the Mathematics Department, EPFL, 2001. However, this is the first part of three, in preparation, dedicated to this subject. It covers, with mild modifications, an elementary introduction to the field.

研究动机与目标

• 解决子黎曼几何中的基础问题，例如在非可积分布上定义切丛、微分几何与流形结构。
• 解决子黎曼流形为何与黎曼流形行为不同，尽管遵循Gromov的渐近平坦性原理这一悖论。
• 开发一种非交换导数框架，推广经典可微性，并在卡诺群上实现内在微分几何。
• 为卡诺群上的双-Lipschitz映射建立子黎曼版的Rademacher定理。
• 为矩映射、可 rectifiable 性理论以及双-Lipschitz群在卡诺空间上的表示奠定基础。

提出的方法

• 利用Pansu可微性与伸缩变换，通过群运算的渐近缩放定义度量导数与虚拟切丛。
• 应用Ball-Box定理控制小球的几何结构，并将其与幂零逼近联系起来。
• 通过极限 δλ−1(f(x)−1f(xδλu)) 定义交换可微性，从而引入非交换导数。
• 采用Margulis-Mostow切丛构造方法，将虚拟切空间定义为锥群同构。
• 运用局部到整体原理与辛提升技术，将子黎曼结构与海森堡群上的哈密顿动力学联系起来。
• 通过证明双-Lipschitz映射的几乎处处可微性，在子黎曼设定下应用Rademacher定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非可积左不变分布的子黎曼李群定义一致的流形结构与切丛？
• RQ2 子黎曼几何中的内在微分几何是什么？它与经典微分几何有何不同？
• RQ3 如果余切丛上的哈密顿形式看起来是完备的，为何子黎曼几何中仍存在异常测地线？
• RQ4 具有左不变分布的紧致李群的切丛是否能自然地赋予群结构？
• RQ5 体积保持的双-Lipschitz映射在卡诺群上的不变量是什么？它们如何超越体积形式？

主要发现

• 卡诺群之间双-Lipschitz映射的虚拟切映射在几乎处处为锥群同构，将Rademacher定理推广至子黎曼设定。
• 通过渐近群运算（通过δt缩放）定义的切丛与Margulis和Mostow定义的虚拟切丛一致，验证了该构造的有效性。
• 通过 δλ−1(f(x)−1f(xδλu)) 定义的非交换导数在几乎处处一致收敛于极限，确立了度量交换可微性。
• Ball-Box定理确保卡诺-卡拉西奥多里度量下小球与幂零逼近中的方盒渐近等价，从而实现几何控制。
• 通过左不变群运算与伸缩变换构造切丛，可获得与子黎曼度量相容的一致内在微分结构。
• 该方法作为特例恢复了经典结果，如Pansu-Rademacher定理，表明其与已知子黎曼分析的一致性。