[论文解读] Subadditive and Multiplicative Ergodic Theorems

Sébastien Gouëzel, Anders Karlsson|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

该论文提出了一项改进的次可加遍历定理，识别出子加双倍数在何时能近似其渐近增长率，从而为1-Lipschitz映射的随机乘积建立了一般性的乘法遍历定理。关键贡献在于证明此类乘积在方向上收敛于一个horofunction，推广了Wolff-Denjoy定理，并将结果扩展至线性算子、全纯映射及主题算子，应用于Teichmüller空间中的极值长度。

ABSTRACT

A result for subadditive ergodic cocycles is proved that provides more delicate information than Kingman's subadditive ergodic theorem. As an application we deduce a multiplicative ergodic theorem generalizing an earlier result of Karlsson-Ledrappier, showing that the growth of a random product of semi-contractions is always directed by some horofunction. We discuss applications of this result to ergodic cocycles of bounded linear operators, holomorphic maps and topical operators, as well as a random mean ergodic theorem.

研究动机与目标

• 通过识别子加双倍数在何时能均匀接近其渐近增长率的‘好时间’，对Kingman的次可加遍历定理进行改进。
• 在度量空间中为1-Lipschitz映射的随机乘积建立一般性的乘法遍历定理，证明其轨道方向收敛于一个horofunction。
• 将Wolff-Denjoy定理从单位圆盘推广至一般度量空间和全纯自映射，包括在Teichmüller空间和极值长度中的应用。
• 为度量泛函提供弱型收敛结果，该结果在Gromov双曲性等几何假设下可升级为强收敛。
• 为有界线性算子和主题算子的双倍数推导新的遍历定理，应用于随机PDE和动力系统。

提出的方法

• 引入改进的次可加遍历定理（定理1.1），识别出时间序列ni(ω)与误差项δℓ(ω)，使得对所有ℓ ≤ ni，有a(ni, ω)在Aℓ附近均匀接近。
• 将改进的次可加定理作为关键工具，证明1-Lipschitz映射的乘法遍历定理，表明轨道u(n, ω)z在方向上收敛于一个horofunction hω。
• 通过收敛于度量空间边界序列的定义，引入度量泛函与horofunction，并利用1-Lipschitz映射下度量的非扩张性。
• 将主要结果应用于复域上的Kobayashi度量，证明在凸性与光滑性假设下，若增长率τ > 0，则轨道收敛于边界点。
• 利用Kerckhoff公式将Teichmüller距离与极值长度关联，推导出在Teichmüller空间全纯自映射下极值长度的对数遍历定理。
• 借助Liu和Su关于Teichmüller空间中horofunction的研究结果，识别出极值长度增长的极限方向。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对Kingman的次可加遍历定理进行改进，以识别出子加双倍数在增长区间内行为均匀接近其渐近速率的时间？
• RQ2 在度量空间中，1-Lipschitz映射的随机乘积的渐近行为是否总是以方向收敛于一个horofunction？
• RQ3 推广的乘法遍历定理在多大程度上将Wolff-Denjoy定理从单位圆盘推广至任意复域与全纯映射？
• RQ4 在Gromov双曲性等几何条件下，度量泛函的弱型收敛能否升级为强收敛？
• RQ5 在Teichmüller空间的全纯自映射的随机复合下，极值长度的增长行为如何？

主要发现

• 改进的次可加定理（定理1.1）保证存在ni(ω) → ∞与δℓ(ω) → 0，使得对所有ℓ ≤ ni与a.e. ω，有|a(ni, ω) − a(ni − ℓ, T^ℓω) − Aℓ| ≤ ℓδℓ(ω)。
• 对于具有有限渐近平均A的可积子加双倍数，该定理确保双倍数在增长长度区间内均匀接近加法行为。
• 乘法遍历定理（定理1.3）表明，对a.e. ω，轨道u(n, ω)z在方向上收敛于一个horofunction hω，即当n → ∞时，hω(u(n, ω)z) → −∞。
• 在Cd中有界域D的全纯自映射下，若满足适当的凸性与光滑性，且增长率τ > 0，则对a.e. ω，有u(n, ω)z → ξω ∈ ∂D，且极限点与初始z无关。
• 在Teichmüller空间Tg中，该定理导出一个对数遍历定理：对a.e. ω与某条简单闭曲线α = αω，有limn→∞ (1/n) log Ext_{u(n,ω)ρ}(α) = 2 limn→∞ (1/n) dT(u(n,ω)ρ, ρ)。
• 该结果适用于有界线性算子与主题算子，为无限维情形提供了新的遍历定理，潜在应用于随机PDE与流体动力学湍流。