[论文解读] Subalgebras of the Fomin-Kirillov algebra

Jonah Blasiak, Ricky Ini Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了Fomin-Kirillov代数𝒟_n的子代数𝒟_G，其中𝐺是𝑛个顶点上的图，𝒟_G由对应于𝐺中边的生成元生成。本文证明𝒟_G是子代数𝒟_H（𝐻⊆𝐺）上的自由模，且当有限维时，其Hilbert级数具有对称系数。关键结果是当𝐺为单连通Dynkin图或环图时，显式计算了𝒟_G的单项式基与Hilbert级数，揭示了其与Coxeter群及nil-Coxeter代数之间的深刻类比。

ABSTRACT

The Fomin-Kirillov algebra $\mathcal E_n$ is a noncommutative quadratic algebra with a generator for every edge of the complete graph on $n$ vertices. For any graph $G$ on $n$ vertices, we define $\mathcal E_G$ to be the subalgebra of $\mathcal E_n$ generated by the edges of $G$. We show that these algebras have many parallels with Coxeter groups and their nil-Coxeter algebras: for instance, $\mathcal E_G$ is a free $\mathcal E_H$-module for any $H\subseteq G$, and if $\mathcal E_G$ is finite-dimensional, then its Hilbert series has symmetric coefficients. We determine explicit monomial bases and Hilbert series for $\mathcal E_G$ when $G$ is a simply-laced finite Dynkin diagram or a cycle, in particular showing that $\mathcal E_G$ is finite-dimensional in these cases. We also present conjectures for the Hilbert series of $\mathcal E_{ ilde{D}_n}$, $\mathcal E_{ ilde{E}_6}$, and $\mathcal E_{ ilde{E}_7}$, as well as for which graphs $G$ on six vertices $\mathcal E_G$ is finite-dimensional.

研究动机与目标

• 研究Fomin-Kirillov代数𝒟_n的子代数𝒟_G的结构，其中𝐺是𝑛个顶点上的任意图。
• 确定𝒟_G何时为有限维，并计算其Hilbert级数与单项式基。
• 探索𝒟_G与Coxeter群的nil-Coxeter代数之间的结构类比。
• 提出并检验关于仿射Dynkin图及六顶点图的𝒟_G的有限性与Hilbert级数的猜想。

提出的方法

• 将𝒟_G定义为𝒟_n中由𝐺中边𝑖𝑗对应的𝑥_𝑖𝑗生成的子代数。
• 利用𝒟_n上的辫子Hopf代数结构，证明𝒟_G是左余理想子代数。
• 通过余理想子代数的性质，证明𝒟_G是任意子图𝐻⊆𝐺的𝒟_H-自由模。
• 通过非退化双线性形式，建立有限维𝒟_G的Hilbert级数具有对称系数的性质。
• 当𝐺为单连通Dynkin图或环图时，构造𝒟_G的显式单项式基。
• 在环图情形下，利用张量积分解与商构造，将𝒟_G描述为仿射对称群的nil-Coxeter代数的商。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图𝐺，Fomin-Kirillov子代数𝒟_G是有限维的？
• RQ2 当𝐺为有限型单连通Dynkin图时，是否存在统一的代数或组合解释来说明𝒟_G的维数？
• RQ3 当𝐺₁与𝐺₂为互补图时，乘法映射𝒟_{𝐺₁}⊗𝒟_{𝐺₂}→𝒟_n是否为同构？
• RQ4 𝒟_n中一个关系的最小度数的𝔛_n-度是否必为该关系支撑集的自同构？
• RQ5 𝒟_G的结构性质能否推广至其他类型的Fomin-Kirillov代数或更一般的Nichols代数？

主要发现

• 𝒟_G是任意子图𝐻⊆𝐺的𝒟_H-自由模，该结论通过余理想子代数理论建立。
• 当𝒟_G有限维时，其Hilbert级数具有对称系数，该性质通过对称双线性形式验证。
• 当𝐺为类型𝐴_𝑛、𝐷_𝑛、𝐸_6或𝐸_7的单连通Dynkin图时，𝒟_G的维数等于Weyl群的阶除以连通指数。
• 当𝐺为𝑛个顶点上的环图（类型~𝐴_{𝑛−1}）时，𝒟_G同构于仿射对称群的nil-Coxeter代数的商，其Hilbert级数在𝑞=0极限下为[2][3]⋯[n]。
• 显式计算了所有至多五个顶点的连通图的𝒟_G的单项式基与Hilbert级数，维数最高达8,294,400。
• 提出了关于𝒟_{~𝐷_𝑛}、𝒟_{~𝐸_6}与𝒟_{~𝐸_7}的Hilbert级数的猜想，以及在156个六顶点图中，哪些图的𝒟_G是有限维的猜想。