[论文解读] Subamenable groups and their partitions

Тарас Банах, Ігор Протасов+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

该论文证明了每个可数无限群 $G$ 都可以被划分为两个集合 $A$ 和 $B$，使得对于任意 $k$-元素子集 $K \subset G$，乘积 $KA$ 和 $KB$ 都不是厚集——即它们的补集不是合成集。该结果依赖于 $G$ 上存在一个合成子测度，即左不变的子测度，确保任何测度小于 1 的集合都能通过有限个左平移扩展为覆盖 $G$ 的集合，从而实现此类划分的构造。

ABSTRACT

We prove that for every number k each countable infinite group $G$ admits a partition $G=A\cup B$ into two sets which are $k$-meager in the sense that for every $k$-element subset $K\subset G$ the sets $KA$ and $KB$ are not thick. The proof is based on the fact that $G$ possesses a syndetic submeasure, i.e., a left-invariant submeasure $\mu:\mathcal P(G) o[0,1]$ such that for each $\epsilon > 1/|G|$ and subset $A\subset G$ with $\mu(A)<1$ there is a set $B\subset G\setminus A$ such that $\mu(B)<\epsilon$ and $FB=G$ for some finite subset $F\subset G$.

研究动机与目标

• 研究每个可数无限群是否都能被划分为两个集合，使得对任意给定的 $k$，这两个集合的 $k$-左平移都不会是厚集。
• 建立可数无限群上存在合成子测度，作为构造此类划分的基础工具。
• 证明 $k$-稀疏集——即其左平移不能厚覆盖 $G$ 的集合——可被用于有意义地划分群。
• 通过子测度和有限覆盖，推广群论中厚性和稀疏性的概念。

提出的方法

• 利用 $G$ 上存在一个合成子测度 $\mu$，即满足特定覆盖和测度条件的左不变函数 $\mu: \mathcal{P}(G) \to [0,1]$。
• 应用如下性质：对任意满足 $\mu(A) < 1$ 的 $A \subset G$，存在集合 $B \subset G \setminus A$，使得 $\mu(B) < \epsilon$，且存在有限集 $F \subset G$，满足 $FB = G$，其中 $\epsilon > 1/|G|$。
• 通过迭代选择子测度较小的集合，确保其有限左平移能覆盖 $G$，同时避免产生厚集，从而构造划分 $G = A \cup B$。
• 通过反证法，利用子测度性质证明：对任意 $k$-元素子集 $K \subset G$，集合 $KA$ 和 $KB$ 不可能是厚集。
• 利用 $\mu$ 的不变性和次可加性，控制 $KA$ 和 $KB$ 在左乘法下的增长。
• 利用如下事实：若 $KA$ 是厚集，则 $\mu(A)$ 必须接近 1，但这与 $A$ 的小测度构造相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可数无限群是否都能被划分为两个集合，使得对任意给定的 $k$，任一集合的 $k$-左平移都不会是厚集？
• RQ2 每个可数无限群是否都存在一个合成子测度，使得小测度集合可通过有限覆盖实现？
• RQ3 群子测度的哪些结构性质能确保 $k$-稀疏集可用于群的划分？
• RQ4 群论中子测度与厚性的相互作用如何限制子集配置的可能形式？

主要发现

• 每个可数无限群 $G$ 都存在一个划分 $G = A \cup B$，使得对任意 $k$-元素子集 $K \subset G$，集合 $KA$ 和 $KB$ 都不是厚集。
• 在 $G$ 上存在合成子测度，可保证任何满足 $\mu(A) < 1$ 的集合 $A$，都能通过一个测度较小的集合 $B$，经有限个左平移 $FB = G$ 而覆盖 $G$。
• 对任意 $\epsilon > 1/|G|$，存在集合 $B \subset G \setminus A$，满足 $\mu(B) < \epsilon$，且存在有限集 $F \subset G$，使得 $FB = G$，从而实现对测度和覆盖的精确控制。
• 构造过程确保 $KA$ 和 $KB$ 不可能是厚集，因为其子测度始终远离 1，从而无法拥有合成补集。
• 该结果对所有 $k$ 均成立，表明无论 $k$ 取值如何，此类划分中 $k$-稀疏性均可实现。
• 关键技术贡献在于：在 $G$ 上存在一个具有合成覆盖性质的左不变子测度，这使得划分结果得以成立。