[论文解读] Subanalytic topologies I. Construction of sheaves

Stéphane Guillermou, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本文在实解析流形上构建了一个新的格罗滕迪克拓扑 Msal，建立了从标准次解析拓扑 Msa 到 Msal 的态射。证明了沿此态射的导出直接像函子 admits 一个右伴随，从而实现了对具有受控边界增长（如缓增或盖尔范德增长）的预层的函子性层化，得到在具有利普希茨边界集上具有相同截面的导出层。该构造使得在导出范畴中对正则整体霍尔诺米尔 D-模进行自然滤子化成为可能。

ABSTRACT

On a real analytic manifold M, we construct the linear subanalytic Grothendieck topology Msal together with the natural morphism of sites $ ho$ from Msa to Msal, where Msa is the usual subanalytic site. Our first result is that the derived direct image functor by $ ho$ admits a right adjoint, allowing us to associate functorially a sheaf (in the derived sense) on Msa to a presheaf on Msa satisfying suitable properties, this sheaf having the same sections that the presheaf on any open set with Lipschitz boundary. We apply this construction to various presheaves on real manifolds, such as the presheaves of functions with temperate growth of a given order at the boundary or with Gevrey growth at the boundary. On a complex manifold endowed with the subanalytic topology, the Dolbeault complexes associated with these new sheaves allow us to obtain various sheaves of holomorphic functions with growth. As an application, we can endow functorially regular holonomic D-modules with a filtration, in the derived sense.

研究动机与目标

• 在实解析流形上定义一个新的格罗滕迪克拓扑 Msal，以细化标准次解析拓扑，从而更好地处理边界增长条件。
• 建立从通常的次解析站点 Msa 到 Msal 的站点态射 $\rho$，以支持导出范畴的构造。
• 通过导出直接像的右伴随，为具有边界处缓增或盖尔范德增长的预层提供函子性层化过程。
• 将该构造应用于复流形上的 Dolbeault 复形，得到具有受控增长的全纯函数的新层。
• 利用所构建的层论框架，在导出范畴中为正则整体霍尔诺米尔 D-模赋予一个自然滤子。

提出的方法

• 在实解析流形 M 上定义线性次解析格罗滕迪克拓扑 Msal，以细化标准次解析拓扑。
• 构造自然的站点态射 $\rho: M_{\text{sa}} \to M_{\text{sal}}$，连接标准拓扑与新拓扑。
• 证明导出直接像函子 $R\rho_*$ 具有右伴随，从而支持合适预层的导出层化。
• 将伴随应用于在边界处具有缓增或盖尔范德增长的函数预层，确保在利普希茨边界集合上截面一致。
• 通过考虑所得层的 Dolbeault 复形，将构造扩展至复流形，产生具有受控增长的全纯函数层。
• 利用所得层框架，在导出范畴中函子性地为正则整体霍尔诺米尔 D-模分配滤子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在实解析流形上构造一个细化的格罗滕迪克拓扑 Msal，以更好地捕捉边界增长行为？
• RQ2 站点态射 $\rho: M_{\text{sa}} \to M_{\text{sal}}$ 是否对导出直接像函子 admits 右伴随？
• RQ3 能否通过此构造在导出意义下函子性地层化在边界处具有缓增或盖尔范德增长的函数预层？
• RQ4 将此构造应用于复流形上的 Dolbeault 复形后，会涌现出哪些具有受控增长的全纯函数新层？
• RQ5 能否利用本文构建的导出层论框架，为正则整体霍尔诺米尔 D-模在导出范畴中赋予一个自然滤子？

主要发现

• 沿态射 $\rho: M_{\text{sa}} \to M_{\text{sal}}$ 的导出直接像函子 admits 右伴随，从而支持导出层化过程。
• 在边界处具有缓增或盖尔范德增长的预层在此构造下生成的层，与原始预层在具有利普希茨边界的开集上截面一致。
• 在复流形上，所构造层的 Dolbeault 复形产生具有边界处受控增长的新全纯函数层。
• 该框架支持在导出范畴中为正则整体霍尔诺米尔 D-模函子性地分配滤子。
• 该构造为实解析流形上具有增长控制的预层提供了一种自然且内在的导出层关联方法。
• 该方法通过导出层论技术，在次解析几何与 D-模理论之间建立了桥梁。