[论文解读] Subatomic Proof Systems: Splittable Systems

Andrea Aler Tubella, Alessio Guglielmi|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出了「可分裂系统」——一种统一的亚原子证明系统框架，将原子视为自对偶、非交换的联结词。通过利用一种共通的推理结构，该框架建立了一项通用定理，仅凭简单且可验证的条件，即可确保一大类线性逻辑（包括乘法线性逻辑和BV逻辑）的剪切消去与归约规范化。

ABSTRACT

This paper presents the first in a series of results that allow us to develop a theory providing finer control over the complexity of normalisation, and in particular of cut elimination. By considering atoms as self-dual non-commutative connectives, we are able to classify a vast class of inference rules in a uniform and very simple way. This allows us to define simple conditions that are easily verifiable and that ensure normalisation and cut elimination by way of a general theorem. In this paper we define and consider splittable systems, which essentially comprise a large class of linear logics, including MLL and BV, and we prove for them a splitting theorem, guaranteeing cut elimination and other admissibility results as corollaries. In papers to follow, we will extend this result to non-linear logics. The final outcome will be a comprehensive theory giving a uniform treatment for most existing logics and providing a blueprint for the design of future proof systems.

研究动机与目标

• 解决传统Gentzen风格证明系统在证明复杂度控制方面缺乏细粒度手段的问题。
• 通过识别推理规则背后共通的结构形态，统一并简化不同逻辑之间的剪切消去证明。
• 将剪切与收缩的归约机制分离，实现独立且可控的处理。
• 为一个全面且统一的证明系统理论奠定基础，适用于现有及未来的各类逻辑。
• 在后续工作中通过将系统分解为线性与收缩阶段，将该框架扩展至非线性逻辑。

提出的方法

• 将原子表示为自对偶、非交换的联结词，从而实现对推理规则的统一处理。
• 将「可分裂系统」定义为一类在涉及两个二元联结词 α 和 β 的特定推理结构下封闭的证明系统类。
• 提出一个通用的归约定理，保证可分裂系统中剪切消去与结构规则的可 admitted 性。
• 将该方法应用于乘法线性逻辑和BV等线性逻辑，证明其证明系统属于可分裂系统。
• 通过温和性条件与解释映射，在剪切消去过程中保持归约性，确保证明的有限性。
• 利用深层推理，允许灵活的推导组合，使该方法能够处理Yetter的非交换逻辑等复杂逻辑，即使其规则非标准，也因内在的结构灵活性而得以处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种统一且通用的框架，以控制多样证明系统中剪切消去的复杂度？
• RQ2 看似无关的推理规则（包括剪切与收缩）背后是否存在共通的结构特征？
• RQ3 剪切与收缩之间的交互能否以一种保持归约性并支持独立操作的方式被解耦？
• RQ4 如何推导出一种普遍适用于广泛线性逻辑类别的通用归约过程？
• RQ5 该框架在多大程度上可扩展至具有收缩的非线性逻辑？

主要发现

• 本文为可分裂系统建立了通用的归约定理，仅凭简单且可验证的条件，即可保证剪切消去与结构规则的可 admitted 性。
• 可分裂系统涵盖了主要的线性逻辑，如乘法线性逻辑和BV逻辑，展现出广泛的适用性。
• 该框架将剪切与收缩的归约机制分离，实现了对二者复杂度影响的独立控制。
• 温和性条件确保剪切消去过程保持证明的有限性，并支持构造温和的、无剪切的推导。
• 深层推理使该方法能够处理非标准规则（如Yetter逻辑中的循环置换），而无需显式添加这些规则，得益于其内在的结构灵活性。
• 该方法为设计未来具备保证归约性与可控复杂度的证明系统提供了蓝图。