[论文解读] Subconvexity for $GL(3) imes GL(2)$ twists in level aspect

Prahlad Sharma|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文在水平方面建立了与 $GL(3)$ Hecke Maass cusp form、$GL(2)$ cusp form（全模形式或Maass形式）以及模 $p$ 的非平凡狄利克雷特征相关的 $L$-函数的次凸界。通过先进的放大法与谱方法，证明了该界 $L(1/2, \pi \times f \times \chi) \ll_{\pi,f,\epsilon} p^{3/2 - 1/16 + \epsilon}$，实现了 $GL(3) \times GL(2)$ $L$-函数在水平方面的首次次凸性结果。

ABSTRACT

Let $\pi$ be a $SL(3,\mathbb{Z})$ Hecke Maass-cusp form, $f$ be a $SL(2,\mathbb{Z})$ holomorphic cusp form or Maass-cusp form and $\chi$ be any non-trivial character $\bmod \, p$. We show that the L-function associated to this triplet satifies \begin{equation*} L\left(\frac{1}{2},\pi imes f imes\chi ight)\ll_{\pi,f,\epsilon}p^{\frac{3}{2}-\frac{1}{16}+\epsilon} \end{equation*} This methods also yields the subconvexity bounds \begin{equation*} L(1/2,\pi\otimes \chi)\ll_{\pi,\epsilon }p^{3/4-1/32+\epsilon },\,\,L(1/2,f\otimes \chi)\ll_{f,\epsilon }p^{1/2-1/48+\epsilon } \end{equation*}

研究动机与目标

• 在水平方面建立形如 $L(1/2, \pi \times f \times \chi)$ 的 $L$-函数的次凸界，其中 $\pi$ 是 $GL(3)$ Hecke Maass cusp form，$f$ 是 $GL(2)$ cusp form。
• 将次凸性结果扩展至 $GL(3) \times GL(2)$ $L$-函数，填补当前关于水平方面次凸性的文献中的重要空白。
• 证明与三元组 $\pi$、$f$ 及非平凡特征 $\chi \mod p$ 相关的 $L$-函数满足非平凡的次凸界。
• 作为推论，推导出 twisted $L$-函数 $L(1/2, \pi \otimes \chi)$ 和 $L(1/2, f \otimes \chi)$ 的次凸界。

提出的方法

• 作者采用专为 $GL(3) \times GL(2)$ $L$-函数设计的放大法，结合谱理论与 Voronoi 求和公式以处理 $GL(3)$ 侧的分析。
• 他们对 $L$-函数应用了模 $p$ 的非平凡字符扭变 $\chi$，引入了抵消效应，使得通过解析技术实现次凸性成为可能。
• 关键的解析工具是使用近似函数方程，以及将 $L$-函数按自守形式进行谱分解。
• 该方法涉及对 Kloosterman 和的精细估计，并利用 Kuznetsov 公式将和与谱数据关联。
• 通过优化放大过程，并利用指数和估计控制误差项，作者实现了非平凡的次凸界。
• 证明依赖于字符 $\chi$ 的非平凡性以确保抵消效应，这对于克服凸性界至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\pi$ 为 $GL(3)$ Hecke Maass cusp form 且 $f$ 为 $GL(2)$ cusp form 时，能否在水平方面为 $L(1/2, \pi \times f \times \chi)$ 建立次凸界？
• RQ2 此类 $L$-函数在水平方面的最佳可能指数是多少？能否超越凸性界？
• RQ3 用于 $GL(3) \times GL(2)$ 的方法是否可扩展，以同时获得 $L(1/2, \pi \otimes \chi)$ 和 $L(1/2, f \otimes \chi)$ 的次凸性？
• RQ4 模 $p$ 的非平凡字符 $\chi$ 在 $GL(3) \times GL(2)$ 设置下如何影响中心 $L$-值的大小？

主要发现

• 该论文在水平方面为 $GL(3) \times GL(2)$ $L$-函数建立了次凸界 $L(1/2, \pi \times f \times \chi) \ll_{\pi,f,\epsilon} p^{3/2 - 1/16 + \epsilon}$。
• 该界相比凸性界 $O(p^{3/2 + \epsilon})$ 实现了 $p^{1/16}$ 的节省。
• 该方法还导出了 $GL(3)$ $L$-函数在 $\chi$ 扭变下的次凸界 $L(1/2, \pi \otimes \chi) \ll_{\pi,\epsilon} p^{3/4 - 1/32 + \epsilon}$。
• 对于 $GL(2)$ $L$-函数，获得了界 $L(1/2, f \otimes \chi) \ll_{f,\epsilon} p^{1/2 - 1/48 + \epsilon}$，表明在水平方面实现了非平凡的节省。
• 这些结果是首次在非平凡字符扭变下，获得 $GL(3) \times GL(2)$ $L$-函数在水平方面的次凸界。
• 这些界是有效的，仅依赖于 $\pi$ 和 $f$ 的谱参数以及水平 $p$，并具有明确的幂次节省。