[论文解读] Subcritical branching processes in random environment without Cramer condition

Vladimir Vatutin, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究在相关随机游走不满足Cramér条件时，随机环境中次临界分支过程的情形，重点关注尾指数β > 2的重尾增量。研究发现，长期存活源于随机游走中一次大的负向跳跃，引发初始种群爆发；给定存活条件下的粒子数量极限分布为连续型，而非经典次临界情形下的离散型。

ABSTRACT

A subcritical branching process in random environment (BPRE) is considered whose associated random walk does not satisfy the Cramer condition. The asymptotics for the survival probability of the process is investigated, and a Yaglom type conditional limit theorem is proved for the number of particles up to moment $n$ given survival to this moment. Contrary to other types of subcritical BPRE, the limiting distribution is not discrete. We also show that the process survives for a long time owing to a single big jump of the associate random walk accompanied by a population explosion at the beginning of the process.

研究动机与目标

• 分析当相关随机游走不满足Cramér条件时，随机环境中次临界分支过程的渐近行为。
• 刻画重尾情形下存活概率的特征，其中对数均值后代数的尾指数β > 2。
• 建立给定存活至时间n时，时间n内粒子数量的Yaglom型条件极限定理。
• 识别长期存活的机制，表明其源于相关随机游走中的一次大的负向跳跃。
• 证明给定存活时粒子数量的极限分布为连续型，与经典次临界情形下的离散极限形成对比。

提出的方法

• 使用独立同分布的后代分布建模随机环境中的分支过程，其生成函数为f_n(s)，其中对数均值后代数X_n = log f_{n-1}'(1) 服从重尾分布，满足P(X > x) ~ l(x)/x^β，且β > 2。
• 定义相关随机游走S_n = X_1 + ... + X_n，由于E[X] = -a < 0，其几乎必然发散至-∞。
• 利用U_n之后的随机游走的函数极限定理，其中U_n为最后一次大负向跳跃的时间，以分析该跳跃之后的路径行为。
• 应用大偏差技术与正常变体理论，分析X的尾部行为及存活概率。
• 通过后跳跃随机游走收敛至布朗运动，建立给定存活时重缩放粒子数量过程的分布收敛性。
• 利用后跳跃随机游走收敛至布朗运动的性质，推导给定存活时种群规模的极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 当相关随机游走不满足Cramér条件时，存活概率的渐近行为如何？
• RQ2 在非Cramér情形下，给定存活至遥远时间n时，种群规模如何随时间演化？
• RQ3 给定存活时粒子数量的极限分布性质为何？其与经典次临界过程中离散极限有何不同？
• RQ4 在缺乏Cramér条件时，何种机制促成长期存活？
• RQ5 相关随机游走的行为，特别是单次大的负向跳跃，如何影响种群动力学？

主要发现

• 存活概率以多项式方式衰减，衰减速率由对数均值后代数的尾指数β > 2决定。
• 长期存活由相关随机游走中的一次大的负向跳跃驱动，该跳跃引发初始种群爆发。
• 给定存活至时间n时，粒子数量随n → ∞趋于无穷，与经典次临界情形中极限分布紧致的性质相反。
• 给定存活时粒子数量的条件极限分布为连续型，而非离散型，其源于后跳跃随机游走收敛至布朗运动。
• 极限分布是非退化的，且关于勒贝格测度绝对连续，表明其具有根本不同的标度行为。
• 给定存活时重缩放粒子数量过程的函数极限定理弱收敛至一个非退化极限，该极限涉及布朗运动，证实了极限的连续性。