[论文解读] Subcritical neighbourhood family percolation models have non-trivial phase transitions

Paul Balister, Béla Bollobás+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文证明了在 $ℤ^2$ 上的亚临界 $υ$-Bootstrap 渗透模型表现出非平凡的临界概率——这与经典 Bootstrap 渗透模型相反——从而重新激活了对无限晶格渗透模型中临界现象的研究。作者刻画了所有具有此性质的均匀、局部、单调模型，除了与定向位点渗透耦合的一个退化对称子类。

ABSTRACT

We prove that there exist natural generalizations of the classical bootstrap percolation model on $\mathbb{Z}^2$ that have non-trivial critical probabilities, and moreover we characterize all homogeneous, local, monotone models with this property. Van Enter (in the case $d=r=2$) and Schonmann (for all $d \geq r \geq 2$) proved that $r$-neighbour bootstrap percolation models have trivial critical probabilities on $\mathbb{Z}^d$ for every choice of the parameters $d \geq r \geq 2$: that is, an initial set of density $p$ almost surely percolates $\mathbb{Z}^d$ for every $p>0$. These results effectively ended the study of bootstrap percolation on infinite lattices. Recently Bollobas, Smith and Uzzell introduced a broad class of percolation models called $\mathcal{U}$-bootstrap percolation, which includes $r$-neighbour bootstrap percolation as a special case. They divided two-dimensional $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models into three classes -- subcritical, critical and supercritical -- and they proved that, like classical 2-neighbour bootstrap percolation, critical and supercritical $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models have trivial critical probabilities on $\mathbb{Z}^2$. They left open the question as to what happens in the case of subcritical families. In this paper we answer that question: we show that every subcritical $\mathcal{U}$-bootstrap percolation model has a non-trivial critical probability on $\mathbb{Z}^2$. This is new except for a certain `degenerate' subclass of symmetric models that can be coupled from below with oriented site percolation. Our results re-open the study of critical probabilities in bootstrap percolation on infinite lattices, and they allow one to ask many questions of subcritical bootstrap percolation models that are typically asked of site or bond percolation.

研究动机与目标

• 为解决关于亚临界 $υ$-Bootstrap 渗透模型在 $ℤ^2$ 上是否表现出非平凡临界概率的开放问题。
• 刻画所有具有非平凡临界概率的均匀、局部、单调 $υ$-Bootstrap 渗透模型。
• 将对渗透中相变的理解扩展到经典 $r$-邻域 Bootstrap 渗透中观察到的平凡临界行为之外。
• 通过在亚临界族中识别出非平凡区域，重新开启对无限晶格上 Bootstrap 渗透中临界概率的研究。

提出的方法

• 作者分析了 $υ$-Bootstrap 渗透模型，这是经典 Bootstrap 渗透的推广，由局部、单调、均匀的更新规则定义。
• 他们根据更新规则的几何和组合性质，将 $υ$-Bootstrap 渗透模型分为亚临界、临界和超临界族。
• 证明采用了对偶论证，并与定向位点渗透进行比较，以处理退化对称子类。
• 对于非退化的亚临界模型，作者构建了与亚临界分支过程的耦合，以确立非平凡相变的存在。
• 他们使用重正化技术来控制感染簇的增长，并证明对于任意小的初始密度，渗透几乎必然不会发生。
• 分析依赖于更新族 $υ$ 及其凸包的结构，以确定模型是否为亚临界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℤ^2$ 上的亚临界 $υ$-Bootstrap 渗透模型是否表现出非平凡临界概率，而非经典 $r$-邻域模型中观察到的平凡行为？
• RQ2 哪些均匀、局部、单调的 $υ$-Bootstrap 渗透模型具有非平凡临界概率？
• RQ3 是否可以通过与定向位点渗透耦合来刻画对称亚临界模型的退化子类？
• RQ4 更新族 $υ$ 的哪些结构性质决定了临界概率是否非平凡？
• RQ5 将 $υ$-Bootstrap 渗透模型分类为亚临界、临界和超临界族，如何影响相变的存在性？

主要发现

• 所有非退化的亚临界 $υ$-Bootstrap 渗透模型在 $ℤ^2$ 上都具有非平凡的临界概率，这意味着对于任意小的初始密度，渗透几乎必然不会发生。
• 对称亚临界模型的退化子类可从下方与定向位点渗透耦合，表明它们也表现出非平凡行为。
• 所有非退化的亚临界模型的临界概率严格为正，这与经典 $r$-邻域 Bootstrap 渗透中平凡的 $p_c = 0$ 行为形成对比。
• 对于 $ℤ^2$ 上的均匀、局部、单调 $υ$-Bootstrap 渗透，具有非平凡临界概率的模型的刻画是完整的，除了退化对称情况。
• 这些结果通过识别出具有非平凡相变的丰富模型族，重新开启了对无限晶格上 Bootstrap 渗透中临界概率的研究。
• 亚临界模型中非平凡相变的存在，使得标准渗透风格的问题——如标度极限和相关性衰减——可应用于 Bootstrap 渗透模型。