[论文解读] Subdifferential characterization of continuous probability functions under Gaussian distribution

Abderrahim Hantoute, René Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 7

一句话总结

本文在高斯分布下推导了连续概率函数的次微分公式，借助球对称-径向分解与具有适度增长的锥形方向集。研究建立了这些函数在何种条件下为局部Lipschitz连续或可微的条件，即使在无限维决策变量和非光滑输入数据的情况下也成立。

ABSTRACT

Probability functions figure prominently in optimization problems of engineering. They may be nonsmooth even if all input data are smooth.This fact motivates the consideration of subdifferentials for such typically just continuous functions. The aim of this paper is to provide subdifferential formulae in the case of Gaussian distributions for possibly infinite-dimensional decision variables and nonsmooth (locally Lipschitzian) input data. These formulae are based on the spheric-radial decomposition of Gaussian random vectors on the one hand and on a cone of directions of moderate growth on the other. By successively adding additional hypotheses, conditions are satisfied under which the probability function is locally Lipschitzian or even differentiable.

研究动机与目标

• 为解决工程优化中非光滑概率函数的挑战，其中平滑输入数据产生连续但不可微的概率函数。
• 将次微分分析扩展至涉及高斯分布随机向量的概率函数，其决策变量可能为无限维。
• 建立此类概率函数为局部Lipschitz连续或可微的充分条件。
• 通过球对称-径向分解与方向增长锥，构建一个严谨的分析框架，以表征次微分。

提出的方法

• 利用高斯随机向量的球对称-径向分解，将角度分量与径向分量分离，以进行次微分分析。
• 引入一个具有适度增长的方向锥，以控制无限维设定下方向导数的行为。
• 应用变分分析与非光滑优化的工具，推导次微分表示。
• 通过结合高斯测度的结构与输入数据的局部Lipschitz性质，推导出公式。
• 通过逐步假设输入数据与决策空间几何结构，建立正则性条件。
• 利用径向分量与方向增长之间的相互作用，确保次微分的存在性与可表征性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入数据为局部Lipschitz函数时，涉及高斯随机向量的概率函数在何种条件下为局部Lipschitz连续？
• RQ2 在无限维决策空间中，此类概率函数的次微分应如何表征？
• RQ3 高斯向量的球对称-径向分解在推导次微分公式中起到何种作用？
• RQ4 方向增长锥如何影响高斯分布下概率函数的正则性？
• RQ5 在何种情况下，即使输入数据非光滑，概率函数仍为可微？

主要发现

• 通过球对称-径向分解与方向增长锥，推导出高斯分布下概率函数的次微分公式。
• 在输入数据与决策空间具有温和正则性假设的条件下，证明了概率函数为局部Lipschitz连续。
• 当输入数据与增长锥满足额外结构条件时，确立了概率函数的可微性。
• 该框架适用于无限维决策变量，将经典结果扩展至更广泛的优化场景。
• 研究结果为涉及高斯不确定性概率约束的非光滑优化提供了理论基础。
• 该表征使得在具有概率目标的工程优化问题中可应用基于次梯度的方法。