[论文解读] Subexponential and FPT-time Inapproximability of Independent Set and Related Problems

Bruno Escoffier, Eun Jung Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2012

Numerical Methods and Algorithms参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文在子指数时间和FPT时间下建立了独立集及相关问题的条件不可逼近性结果，表明若线性PCP猜想成立，则即使在子指数时间 $2^{o(n)}$ 内也无法实现优于常数比的逼近。这些结果依赖于通过弥散图实现的间隙放大，以及在指数时间假设（ETH）下从3-SAT出发的归约。

ABSTRACT

Fixed-parameter algorithms, approximation algorithms and moderately exponential algorithms are three major approaches to algorithms design. While each of them being very active in its own, there is an increasing attention to the connection between different approaches. In particular, whether Maximum Independent Set would be better approximable once endowed with subexponential-time or FPT-time is a central question. In this paper, we present a strong link between the linear PCP conjecture and the inapproximability, thus partially answering this question.

研究动机与目标

• 探究诸如独立集这类高度不可逼近的问题是否在子指数时间或FPT时间下变得可逼近。
• 在广泛接受的复杂性假设（特别是ETH与线性PCP猜想）下，建立条件不可逼近性结果。
• 通过将PCP理论与这些范式中的不可逼近性相联系，弥合近似算法、固定参数算法与适度指数算法之间的差距。
• 探究多项式时间下的逼近困难是否在子指数时间或FPT时间下依然持续，尤其是针对独立集、顶点覆盖与图着色问题。
• 在合理的复杂性假设下，考察FPT时间或子指数时间的近似算法能否实现优于多项式时间算法的逼近比。

提出的方法

• 利用弥散图的结构，通过保持间隙的变换将3-SAT实例归约到独立集及相关问题，以放大可满足与不可满足实例之间的间隙。
• 应用指数时间假设（ETH）以排除在特定比值内对独立集及相关问题进行子指数时间逼近的算法。
• 利用线性PCP猜想（LPC）加强不可逼近性结果，表明若LPC成立，则任何 $2^{o(n)}$-时间算法也无法实现非常数比的逼近。
• 通过从顶点覆盖到Min-Sat的归约，将不可逼近性结果转移到其他问题，同时保持逼近比与实例大小的线性关系。
• 通过弥散图应用间隙放大技术，将常数间隙的PCP转化为具有超常数间隙的线性大小实例，从而获得更强的不可逼近性界。
• 将已知的PCP构造与参数化复杂性理论相结合，推导出FPT时间下的不可逼近性，特别是针对独立支配集与支配集问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 像独立集这类在多项式时间内不可逼近的问题，是否能在子指数时间内实现良好逼近？
• RQ2 参数化复杂性框架是否允许对独立集等问题实现优于多项式时间算法的更好逼近比？
• RQ3 线性PCP猜想对子指数时间或FPT时间下独立集的不可逼近性有何影响？
• RQ4 当存在大小为 $k$ 的解时，FPT时间算法能否对独立集实现非常数逼近比？
• RQ5 FPT时间下的不可逼近性与更强的PCP定理（如线性PCP猜想）之间是否存在联系？

主要发现

• 在指数时间假设（ETH）下，独立集无法在时间 $2^{n^{1- u}}$ 内实现任何常数比的逼近，其中 $ u > 0$。
• 若线性PCP猜想成立，则任何 $2^{o(n)}$-时间算法都无法在常数比内逼近独立集。
• 在假设FPT ≠ W[2]下，独立支配集的FPT时间不可逼近性成立，即使对于无界的比值函数 $g(k)$ 也是如此。
• 相同的不可逼近性结果在ETH与线性PCP猜想下可推广至集合打包、二分图子图、图着色与顶点覆盖问题。
• 通过弥散图实现的间隙放大可将常数间隙PCP转化为具有超常数间隙的线性大小实例，从而支持更强的不可逼近性界。
• 从顶点覆盖到Min-Sat的归约保持了逼近比，并允许在实例大小线性放大下将不可逼近性结果在问题间转移。