[论文解读] Subexponential parameterized algorithm for interval completion

Ivan Bliznets, Fedor V. Fomin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文提出了首个针对区间完成问题的亚指数时间参数化算法，运行时间为 k^O(√k) · n^O(1)，显著优于此前 Villanger 等人提出的 O(k²k n³m) 上界。该算法利用先进的数据约简与分支技术，在参数 k 上实现亚指数时间复杂度，使区间完成问题进入一个罕见的图修改问题类别，即可在亚指数时间内求解。

ABSTRACT

In the Interval Completion problem we are given an n-vertex graph G and an integer k, and the task is to transform G by making use of at most k edge additions into an interval graph. This is a fundamental graph modification problem with applications in sparse matrix multiplication and molecular biology. The question about fixed-parameter tractability of Interval Completion was asked by Kaplan, Shamir and Tarjan [FOCS 1994; SIAM J. Comput. 1999] and was answered affirmatively more than a decade later by Villanger at el. [STOC 2007; SIAM J. Comput. 2009], who presented an algorithm with running time O(k2kn3m). We give the first subexponential parameterized algorithm solving Interval Completion in time kO([EQUATION])nO(1). This adds Interval Completion to a very small list of parameterized graph modification problems solvable in subexponential time.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：区间完成问题是否具有亚指数时间参数化算法。
• 改进 Villanger 等人提出的固定参数可解算法的先前运行时间 O(k²k n³m)。
• 将区间完成问题置于以参数 k 为基准可在亚指数时间内求解的图修改问题的极少数类别中。
• 证明高级数据约简与分支技术可为基本图问题带来亚指数时间改进。

提出的方法

• 该算法采用一种新颖的数据约简技术，在保留解空间的同时缩小实例规模。
• 基于区间图的结构特性和潜在最大团，设计了一种精细化的分支策略。
• 该方法利用了区间图中最大团存在特定排序这一事实，并据此指导边添加决策。
• 关键组件在于：在补图中使用最小点覆盖，以限制边添加的次数。
• 该算法结合了内核化与递归分支过程，充分利用输入图的结构特征。
• 运行时间分析依赖于关键顶点数量的 O(√k) 上界，从而实现对参数 k 的亚指数依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 区间完成问题能否在参数 k 的亚指数时间内求解，即 o(c^k)（对任意 c > 1）？
• RQ2 区间图的哪些结构特性可被利用以设计更高效的参数化算法？
• RQ3 是否可通过高级数据约简与分支技术，实现区间完成问题在 k^O(√k) · n^O(1) 时间内的求解？
• RQ4 与先前的 O(k²k n³m) 解法相比，新算法在理论与实践中的表现如何？
• RQ5 本文开发的技术能否推广至其他图修改问题？

主要发现

• 本文实现了 k^O(√k) · n^O(1) 的运行时间，该时间复杂度在参数 k 上为亚指数。
• 该结果解决了区间完成问题在亚指数时间内的固定参数可解性，回应了 Kaplan 等人以及后续 Villanger 等人提出的开放问题。
• 该算法是首个将区间完成问题归入可在参数化亚指数时间内求解的类别中的算法。
• 该方法依赖于对区间图及其潜在最大团的深层结构分析，以指导高效的分支策略。
• 运行时间的改进极为显著，尤其在 k 取值较小或中等时，将指数依赖从 k^k 降低至 k^O(√k)。
• 该结果使区间完成问题跻身于拥有亚指数参数化算法的图修改问题中极为罕见且重要的类别。