[论文解读] Subexponential tail equivalence of the queue length distributions of BMAP/GI/1 queues with and without retrials

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 40被引用 7

一句话总结

本文通过一种新颖的类似随机分解的结果与矩阵分析方法，建立了BMAP/GI/1重试队列与无重试队列之间平稳队列长度分布的次指数尾部等价性。关键贡献在于证明了即使在批量大小为重尾分布时，重试队列的尾部行为仍与无重试的标准队列一致——这扩展了以往研究中要求轻尾批量到达的限制。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. We first present a stochastic-decomposition-like result of the stationary queue length in the BMAP/GI/1 retrial queue, which is an extension of the stochastic decomposition of the stationary queue length in the M${}^X$/GI/1 retrial queue. The stochastic-decomposition-like result shows that the stationary queue length distribution in the BMAP/GI/1 retrial queue is decomposed into two parts: the stationary conditional queue length distribution given that the server is idle; and a certain matrix sequence associated with the stationary queue length distribution in the corresponding standard BMAP/GI/1 queue (without retrials). Using the stochastic-decomposition-like result and matrix analytic methods, we prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. This tail equivalence result does not necessarily require that the size of an arriving batch is light-tailed, unlike Yamamuro's result for the M${}^X$/GI/1 retrial queue (Queueing Syst. 70:187--205, 2012). As a by-product, the key lemma to the roof of the main theorem presents a subexponential asymptotic formula for the stationary distribution of a level-dependent M/G/1-type Markov chain, which is the first reported result on the subexponential asymptotics of level-dependent block-structured Markov chains.

研究动机与目标

• 建立BMAP/GI/1重试队列与无重试队列之间平稳队列长度分布的次指数尾部等价性。
• 将已知于M^X/GI/1重试队列的随机分解结构推广至更一般的BMAP/GI/1重试模型。
• 消除以往研究中为实现次指数尾部等价性所要求的轻尾批量大小假设，例如Yamamuro（2012）的研究。
• 为具有次指数尾部的平面上依赖M/G/1型马尔可夫链，推导其平稳分布的新渐近公式。
• 为分析具有广义批量到达及重尾服务或到达时间的重试队列中的罕见事件行为，提供严格的理论基础。

提出的方法

• 推导了BMAP/GI/1重试队列中平稳队列长度的类似随机分解表示，将其分解为空闲期队列长度与与标准BMAP/GI/1队列相关的分量。
• 应用矩阵分析方法，分析重试模型中队列长度分布的尾部行为。
• 利用一个关于平面上依赖M/G/1型马尔可夫链的次指数渐近性质的关键引理，这是该类模型的首个此类结果。
• 通过矩阵序列的上极限与下极限分析，结合次指数分布的性质，对尾部概率进行有界控制。
• 通过涉及矩阵序列与次指数衰减率的不等式，建立尾部概率的收敛性。
• 依赖于具有次指数尾部的矩阵序列的卷积性质，通过附录中的命题B.1与B.2予以形式化。

实验结果

研究问题

• RQ1 BMAP/GI/1重试队列的平稳队列长度分布是否表现出与对应的标准BMAP/GI/1队列相同的次指数尾部行为？
• RQ2 M^X/GI/1重试队列的随机分解结果能否推广至BMAP/GI/1重试队列？
• RQ3 当批量大小分布为重尾而非轻尾时，次指数尾部等价性是否仍然成立？
• RQ4 具有次指数尾部的平面上依赖M/G/1型马尔可夫链的平稳分布的渐近行为如何？
• RQ5 矩阵分析技术能否用于推导具有批量马氏到达的一般重试队列系统的次指数渐近性质？

主要发现

• BMAP/GI/1重试队列的平稳队列长度分布与标准BMAP/GI/1队列具有次指数等价性，即当x→∞时，P(L^{(μ)}>x) ~ P(L^{(∞)}>x)。
• 类似随机分解的结果将重试队列长度分解为空闲期队列长度与与标准队列相关的分量，从而支持尾部分析。
• 关键引理首次提供了平面上依赖M/G/1型马尔可夫链平稳分布的次指数渐近公式。
• 尾部等价性结果在不依赖批量大小分布为轻尾的条件下成立，这与Yamamuro（2012）针对M^X/GI/1重试队列的结果不同。
• 命题B.1与B.2建立了具有次指数尾部的矩阵序列的渐近卷积规则，从而实现对尾部概率的精确有界控制。
• 证明技术依赖于矩阵不等式与上极限/下极限分析，以控制尾部衰减速率，在一般条件下确认了等价性。