[论文解读] Subfactors, Planar Algebras and Rotations

Michael Burns|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 12

一句话总结

该论文将琼斯的平面代数框架从极值有限指标 $ℝ_1$ 子因子推广到任意类型的有限指标子因子，通过引入刚性 $Χ^*$-平面代数，该代数通过由 Radon-Nikodym 导数控制的校正项来纳入旋转。它证明了每个刚性 $Χ^*$-平面代数均可作为具有非保迹条件期望的有限指标 $ℝ_1$ 子因子的标准不变量，且在近似极值条件下，为无限指标子因子构造了 $L^2$-空间上的周期性旋转算子。

ABSTRACT

Growing out of the initial connections between subfactors and knot theory that gave rise to the Jones polynomial, Jones' axiomatization of the standard invariant of an extremal finite index $II_1$ subfactor as a spherical $C^*$-planar algebra, presented in arXiv:math.QA/9909027, is the most elegant and powerful description available. We make the natural extension of this axiomatization to the case of finite index subfactors of arbitrary type. We also provide the first steps toward a limited planar structure in the infinite index case. The central role of rotations, which provide the main non-trivial part of the planar structure, is a recurring theme throughout this work. In the finite index case the axioms of a $C^*$-planar algebra need to be weakened to disallow rotation of internal discs, giving rise to the notion of a rigid $C^*$-planar algebra. We show that the standard invariant of any finite index subfactor has a rigid $C^*$-planar algebra structure. We then show that rotations can be re-introduced with associated correction terms entirely controlled by the Radon-Nikodym derivative of the two canonical states on the first relative commutant, $N' \cap M$. By deforming a rigid $C^*$-planar algebra to obtain a spherical $C^*$-planar algebra and lifting the inverse construction to the subfactor level we show that any rigid $C^*$-planar algebra arises as the standard invariant of a finite index $II_1$ subfactor equipped with a conditional expectation, which in general is not trace preserving. Jones' results thus extend completely to the general finite index case. We conclude by applying our machinery to the $II_1$ case, shedding new light on the rotations studied by Huang [11] and touching briefly on the work of Popa [29]. (continued in article)

研究动机与目标

• 将琼斯的平面代数框架从极值 $\mathrm{II}_1$ 子因子推广至任意类型的有限指标子因子。
• 通过 Radon-Nikodym 导数引入校正项，以解决一般有限指标子因子中缺乏完整旋转对称性的问题。
• 在近似极值条件下，通过在 $L^2$-空间上构造周期性旋转算子，为无限指标子因子启动平面代数结构。
• 证明无限指标 $\mathrm{II}_1$ 子因子的标准不变量可在第二相对交换子中包含一个类型 $\mathrm{III}$ 中心和项，而该和项在 $L^2$-空间中不可见。

提出的方法

• 引入刚性 $Χ^*$-平面代数的概念，以建模不具内部圆盘旋转的有限指标子因子的标准不变量。
• 利用 $N' \cap M$ 上两个典范状态的 Radon-Nikodym 导数来定义校正项，以恢复旋转对称性。
• 将刚性 $Χ^*$-平面代数变形为球面对称 $Χ^*$-平面代数，将逆向构造提升至子因子层面。
• 为近似极值的无限指标 $ℝ_1$ 子因子的标准不变量的 $L^2$-空间构造一个周期性旋转算子。
• 利用算子值权和相对张量积分析基本构造中相对交换子的结构。
• 应用模理论及自由群 $ℝ_\infty$ 在 Fock 空间上的作用，分析 $N' \cap M_1$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面代数框架能否被推广至超越极值 $ℝ_1$ 子因子的任意有限指标子因子？
• RQ2 当不允许内部圆盘旋转时，如何在有限指标子因子的平面代数结构中重新引入旋转？
• RQ3 在 $L^2$-空间上存在旋转算子的必要且充分条件是什么？
• RQ4 无限指标子因子的标准不变量是否可能在第二相对交换子中包含一个类型 $ℝ_3$ 因子？若如此，这对平面代数构造有何影响？

主要发现

• 每个有限指标子因子均具有刚性 $Χ^*$-平面代数结构，推广了琼斯原始框架。
• 可通过完全由 $N' \cap M$ 上两个典范状态的 Radon-Nikodym 导数决定的校正项，将旋转重新引入刚性 $Χ^*$-平面代数。
• 任何刚性 $Χ^*$-平面代数均可作为配备有非必然保迹条件期望的有限指标 $ℝ_1$ 子因子的标准不变量。
• 在近似极值的无限指标 $ℝ_1$ 子因子的标准不变量的 $L^2$-空间上，存在一个周期性旋转算子。
• 近似极值的假设是 $L^2$-空间上此类旋转算子存在的必要且充分条件。
• 存在一个 $ℝ_1$ 子因子，其 $N' \cap M_1$ 中包含一个类型 $ℝ_3$ 中心和项，表明无限指标标准不变量的复杂性可能超越 $L^2$-空间。