[论文解读] Subgaussian sequences in probability and Fourier analysis

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 29被引用 11

一句话总结

本文在概率论与调和分析之间建立了深刻的联系，特别将环面上的次高斯三角系与Sidon集联系起来。研究证明，一致有界的正交系是次高斯的，当且仅当它是Sidon集，通过算子理论方法和Mehler核，推广了经典结果，并解决了有界正交系背景下长期存在的一个开放问题。

ABSTRACT

This is a review on subgaussian sequences of random variables, prepared for the Mediterranean Institute for the Mathematical Sciences (MIMS). We first describe the main examples of such sequences. Then we focus on examples coming from the harmonic analysis of Fourier series and we describe the connection of subgaussian sequences of characters on the unidimensional torus (or any compact Abelian group) with Sidon sets. We explain the main combinatorial open problem concerning such subgaussian sequences. We present the answer to the analogous question for subgaussian bounded mean oscillation (BMO) sequences on the unit circle. Lastly, we describe several very recent results that provide a generalization of the preceding ones when the trigonometric system (or its analogue on a compact Abelian group) is replaced by an arbitrary orthonormal system bounded in $L_\infty$.

研究动机与目标

• 在紧阿贝尔群上的傅里叶分析背景下，对次高斯序列进行表征。
• 通过其指标集的算术性质，解决次高斯序列表征的开放问题。
• 将次高斯序列与Sidon集之间的联系，从三角系推广到任意一致有界的正交系。
• 建立单位圆上次高斯有界变差（BMO）序列由Sidon性质表征的结果。
• 利用概率与泛函分析的现代工具，推广关于Sidon集的经典结果。

提出的方法

• 通过矩生成函数的界来定义次高斯序列：E[exp(∑xₙfₙ)] ≤ exp(s²∑xₙ²/2)。
• 应用Mehler核（Ornstein-Uhlenbeck半群）来构造正交系张量积的逼近。
• 采用算子理论分解：∑φₙ⊗φₙ = t + r，其中t属于∧-范数，r属于算子范数。
• 使用插值与有限秩逼近，将L₁张量结果提升至L₁⊗L₁中的有限秩算子。
• 应用Slepian与Talagrand的比较定理，将次高斯行为与高斯过程关联。
• 利用一个序列是次高斯当且仅当其实部与虚部均为次高斯的事实，从而实现复值分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 环面上的字符序列在何时是次高斯的，这与Sidon集有何关系？
• RQ2 能否从次高斯序列的表征中去除群结构？
• RQ3 单位圆上每个次高斯有界正交系是否必然为Sidon集？
• RQ4 Mehler核在逼近正交系张量积中起什么作用？
• RQ5 次高斯性质是否意味着在有界正交系中，对k > 1有⊗ᵏ-Sidon性质？

主要发现

• 在单位圆上，三角系的一个子序列是次高斯的，当且仅当它是Sidon集。
• 对于一致有界的正交系，次高斯蕴含Sidon，反之亦然，从而解决了调和分析中一个重大开放问题。
• 本文证明：(φₙ)是次高斯的，当且仅当(φₙ⊗φₙ)是常数≤2Cw(δ)的Sidon集，其中w(δ)是δ的函数。
• 证明使用Mehler核构造分解∑φₙ⊗φₙ = t + r，满足‖t‖∧ ≤ Cw(δ)且‖r‖∨ ≤ Cδ。
• 该结果可推广至Lᵖ范数：当1 < p < 2时，次高斯系统满足‖f‖ψp′ ≤ Cₚ‖(aₙ)‖p,∞，其中f = ∑aₙφₙ。
• 本文表明：(φₙ)是随机Sidon的，当且仅当它对某个k ≥ 4是⊗ᵏ-Sidon的，而k = 2,3的情况仍为开放问题。