[论文解读] Subgraph discrepancies in the complete graph

Micha Christoph, Lior Gishboliner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

Mathematical Approximation and Integration被引用 0

一句话总结

该论文将不等性结果从树推广到具有有界最大度且无孤立顶点的一般n顶点图，证明在K_n的任意两色着色中的拷贝不等性下界，并对d-规整图、K_k-因子以及2-因子进行了带有最优常数的分析。

ABSTRACT

Given a 2-edge-coloring $f : E(K_n) ightarrow \{\pm 1\}$, the discrepancy of a subgraph $F \subseteq K_n$ is defined as $\left| \sum_{e \in E(F)} f(e) ight|$. Erdős, Füredi, Loebl and Sós showed that if $F$ is an $n$-vertex tree with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$, then every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\varepsilon)n$. We extend this result by showing that the same conclusion holds for every $n$-vertex graph with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$ and no isolated vertices. We also show that for every $d$-regular $n$-vertex graph $F$ with $d \leq (1-\varepsilon)n$, every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\sqrt{\varepsilon d}) \cdot n$. The dependence on $d$ and $n$ is best possible. Finally, we consider specific graphs $F$, namely $K_r$-factors and 2-factors. For each such graph $F$, we determine the optimal constant $λ$ such that every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy at least $(λ+ o(1))n$.

研究动机与目标

• 将不等性结果从树推广到具有最大度数不超过(1-ε)n且无孤立顶点的任意n顶点图。
• 在K_n的两色着色中针对正则和非常规F，建立F拷贝的不等性下界。
• 确定K_k-因子和2-因子在不等性约束下的最优常数和极值构造。

提出的方法

• 使用F及宿主图G的偏置二分来推导高不等性嵌入（Lemma 2.1）。
• 开发guest-good与host-good框架（Definitions 2.6 与 2.7），以实现主嵌入引理（Lemma 2.8）。
• 应用概率方法和超几何论证来控制边数偏差（Lemmas 2.9–2.13）。
• 将F与G的二分结果（Theorems 2.4–2.5）与主引理结合，证明Theorems 1.1 与 1.2。
• 探索极值构造，特别是二分构造，以确定K_k-因子和2-因子在最坏情况的配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 Omega(ε n) 的树的不等性界限是否可推广至Δ(F) ≤ (1-ε)n且无孤立顶点的任意n顶点图？
• RQ2 在K_n的两色着色中，d-规整图的度d对不等性与度数的精确依赖关系如何？
• RQ3 关于K_k-因子，在K_n的两色着色中，单色边数的最优常数λ_k是多少？
• RQ4 所有n顶点的2-因子是否在两色着色中普遍具有相同的(2/3 − o(1))n单色边数下界？
• RQ5 哪些紧致极值构造（如二分结构）能实现针对F-因子与F-结构的这些界限？

主要发现

• 对任意ε>0且n足够大，所有Δ(F) ≤ (1-ε)n且无孤立顶点的n顶点图F在K_n中都存在不等性至少为c·ε n的拷贝（c>0为通用常数）。
• 对任意ε>0且n足够大，若F为d-规整且d ≤ (1-ε)n，则在K_n中存在拷贝，其不等性至少为c√(ε d) n，且这一界限在常数量级上是最优的。
• 对于K_k-因子，K_n的任意两色着色包含一个K_k-因子，其同色边数至少为(λ_k − o(1)) n，其中λ_k通过二分极值构造定义。
• 对于n顶点的2-因子，K_n的任意两色着色包含一个F的拷贝，其同色边数至少为(2/3 − o(1)) n，且常数2/3是最优的（由二分构造实现）。
• 结果统一并扩展了先前关于树、匹配、哈密顿环和因子的拈性不等性的结果，覆盖了更广泛的生成图F的情形。