[论文解读] Subgraphs and Colourability of Locatable Graphs

Richard A. B. Johnson, Sebastian Koch|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究可定位图——即通过距离查询，警察能够保证定位到逃犯的图——证明了对于一般可定位图，不存在禁止子图或诱导禁止子图的特征刻画。本文为直径至多为2的图提供了完整的特征刻画，表明所有可定位图都是4-可染色的，但不一定是3-可染色的，并引入了‘藏身图’的概念，以识别不可定位的结构。

ABSTRACT

We study a game of pursuit and evasion introduced by Seager in 2012, in which a cop searches the robber from outside the graph, using distance queries. A graph on which the cop wins is called locatable. In her original paper, Seager asked whether there exists a characterisation of the graph property of locatable graphs by either forbidden or forbidden induced subgraphs, both of which we answer in the negative. We then proceed to show that such a characterisation does exist for graphs of diameter at most 2, stating it explicitly, and note that this is not true for higher diameter. Exploring a different direction of topic, we also start research in the direction of colourability of locatable graphs, we also show that every locatable graph is 4-colourable, but not necessarily 3-colourable.

研究动机与目标

• 确定可定位图是否能通过禁止子图或诱导禁止子图进行特征刻画，以否定方式回答Seager的开放问题。
• 为直径至多为2的可定位图提供完整的特征刻画，识别确保警察能获胜的结构约束。
• 研究可定位图的可染色性，建立色数的界限，并识别非3-可染色的例子。
• 引入并分析‘藏身图’——即阻止警察能获胜的图，特别是那些包含$K_4$或$K_{3,3}$作为诱导子图的图。
• 探索逃犯策略的鲁棒性，特别是当$H$是藏身图时，其是否能被限制在子图$H$中，即使$G$包含$H$作为子图。

提出的方法

• 采用博弈论分析一种距离查询的警-匪游戏，其中警官探测顶点并接收其与匪徒位置之间距离的反馈。
• 运用归纳法和结构论证，证明包含$K_4$或$K_{3,3}$作为诱导子图的图不可定位，将此类图定义为‘藏身图’。
• 在直径为2的图上采用构造性策略，通过在关键顶点顺序探测以隔离匪徒的位置。
• 应用图着色技术，证明所有可定位图都是4-可染色的，利用从警官探测策略中导出的结构约束。
• 分析对称图族（如钻石环和太阳花图）以证明其极小性和不可定位性，支持藏身图框架。
• 使用概率推理表明，随机3-正则图几乎必然不可定位，从而推动对具有正可定位概率的受限子族的探索。

实验结果

研究问题

• RQ1 可定位图的类是否能通过禁止子图或诱导禁止子图进行特征刻画？（答案：一般情况下不能。）
• RQ2 是否存在直径至多为2的可定位图的完整结构特征刻画？（是，本文已提供。）
• RQ3 可定位图的色数是多少？（所有可定位图都是4-可染色的，但不一定是3-可染色的。）
• RQ4 当$H$是藏身图时，匪徒是否总能将其活动限制在子图$H$中，即使$G$包含$H$作为子图？（开放问题。）
• RQ5 是否存在某些3-正则图的受限子族，使得其可定位的概率为正？（开放问题。）

主要发现

• 对于所有可定位图的类，不存在禁止子图或诱导禁止子图的特征刻画，从而以否定方式回答了Seager的问题。
• 本文提供了直径至多为2的可定位图的完整特征刻画，识别出确保警察能获胜的具体结构条件。
• 所有可定位图都是4-可染色的，但存在非3-可染色的可定位图，表明该界限是紧的。
• 包含$K_4$或$K_{3,3}$作为诱导子图的图是不可定位的，被称为‘藏身图’，并提出了识别此类图的一般框架。
• 阶数为$n$的钻石环——即每条边被一个钻石替换的环——是最小的藏身图，匪徒可通过将活动限制在此子图中获胜。
• 随机3-正则图几乎必然不可定位，表明为实现正可定位概率，可能需要对3-正则图族进行限制。