[论文解读] Subgroups and strictly closed invariant C*-subalgebras

Pekka Salmi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了局部紧群 $G$ 的闭子群与 $\mathrm{C}_b(G)$ 的严格闭、左不变 C*-子代数之间的一一对应关系；当 $G$ 为可乘群时，进一步建立了闭子群与约化群 C*-代数的乘子代数 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 的严格闭不变 C*-子代数之间的一一对应关系。其核心贡献在于表明，在 C*-代数调和分析中，严格拓扑而非范数拓扑才是此类刻画的恰当框架。

ABSTRACT

We characterise the strictly closed left invariant C*-subalgebras of the C*-algebra C_b(G) of bounded continuous functions on a locally compact group G. On the dual side, we characterise the strictly closed invariant C*-subalgebras of the multiplier algebra of the reduced group C*-algebra C*_r(G) when G is amenable. In both cases, these C*-subalgebras correspond to closed subgroups of G.

研究动机与目标

• 为局部紧群 $G$ 的 $\mathrm{C}_b(G)$ 的严格闭、左不变 C*-子代数进行刻画。
• 当 $G$ 为可乘群时，将该刻画推广至约化群 C*-代数 $\mathrm{C}_r^*(G)$ 的乘子代数。
• 通过引入严格拓扑，解决范数闭子代数仅对应紧致或开子群的局限性。
• 在乘子代数设定下，建立 $G$ 的闭子群与严格闭不变 C*-子代数之间的一一对应关系。

提出的方法

• 在乘子代数上使用由半范数 $x \mapsto \|xa\|$ 和 $x \mapsto \|ax\|$（$a$ 属于原 C*-代数）生成的严格拓扑。
• 应用严格 Stone–Weierstrass 定理，证明若一个严格闭子代数分离点，则其必为整个代数。
• 构造一个严格连续的 $*$-同构 $\pi: \mathrm{C}_b(G/H) \to \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ 对所有 } s \in H\}$。
• 利用左正则表示 $\lambda: G \to \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 的严格连续性及其向乘子代数的延拓。
• 借助 $\mathrm{A}(G)$ 中有界逼近单位的存在性，将结果从紧支集元素推广至乘子代数中的一般元素。
• 证明当 $H$ 闭且 $G$ 可乘时，条件 $\operatorname{supp}x \subseteq H$ 可刻画不变子代数 $X$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在严格拓扑下，$\mathrm{C}_b(G)$ 的哪些 C*-子代数与 $G$ 的闭子群相对应？
• RQ2 当 $G$ 为可乘群时，$\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 的严格闭、不变 C*-子代数与 $G$ 的闭子群有何关系？
• RQ3 为何范数拓扑在 C*-代数设定下无法捕捉所有子群？严格拓扑如何解决此问题？
• RQ4 映射 $\pi: \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H)) \to \{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$ 在 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 中是否严格闭？
• RQ5 是否每个 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 上的泛函都能严格延拓至 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 上？

主要发现

• 对于局部紧群 $G$ 的每个闭子群 $H$，存在一一对应关系，使得严格闭、左不变 C*-子代数 $X \subseteq \mathrm{C}_b(G)$ 满足 $X = \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ 对所有 } s \in H\}$。
• 当 $G$ 为可乘群时，$G$ 的每个闭子群 $H$ 与 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 的严格闭、不变 C*-子代数 $X$ 之间存在一一对应关系，其中 $X = \{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$。
• 严格拓扑在此对偶关系中至关重要，因为范数闭子代数仅能捕捉紧致或开子群。
• 映射 $\pi: \mathrm{C}_b(G/H) \to \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ 对所有 } s \in H\}$ 是一个严格连续的 $*$-同构。
• 嵌入映射 $\pi: \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H)) \to \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 的像在相应子代数 $X$ 中是严格稠密的，但尚不清楚其是否严格闭。
• 映射 $\pi$ 不是严格同胚，意味着并非所有 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 上的泛函都能严格延拓至 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$，如在 $\mathbb{R}$ 上的仿射群中的反例所示。