[论文解读] Subgroups of Spin(7) or SO(7) with each element conjugate to some element of G_2, and applications to automorphic forms

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文证明了：若Spin(7)的子群中每个元素都共轭于G₂中的元素，则该子群本身也必共轭于G₂的子群；而此结论在SO(7)中不成立。SO(7)中的例外情形被分类为GL₂(ℤ/3ℤ)、SL₂(ℤ/3ℤ)、ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ，以及某些非交换子群（属于GO₂(ℂ)，具有紧致闭包且相似因子群为{±1}），且不与8阶二面体群同构。这些结果被应用于自守形式与伽罗瓦表示，给出了GL₇的ℓ进伽罗瓦表示共轭进入G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)的必要且充分局部条件。

ABSTRACT

As is well-known, the compact groups Spin(7) and SO(7) both have a single conjugacy class of compact subgroups of exceptional type G_2. We first show that if H is a subgroup of Spin(7), and if each element of H is conjugate to some element of G_2, then H itself is conjugate to a subgroup of G_2. The analogous statement for SO(7) turns out be false, and our main result is a classification of all the exceptions. They are the following groups, embedded in each case in SO(7) in a very specific way: GL_2(Z/3Z), SL_2(Z/3Z), Z/4Z x Z/2Z, as well as the nonabelian subgroups of GO_2(C) with compact closure, similitude factors group {-1,1}, and which are not isomorphic to the dihedral group of order 8. More generally, we consider the analogous problems in which the Euclidean space is replaced by a quadratic space of dimension 7 over an arbitrary field. This type of questions naturally arises in some formulation of a converse statement of Langlands' global functoriality conjecture, to which the results above have thus some applications. Moreover, we give necessary and sufficient local conditions on a cuspidal algebraic regular automorphic representation of GL_7 over a totally real number field so that its associated \ell-adic Galois representations can be conjugate into G_2(\bar{Q_\ell}).

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，Spin(7)或SO(7)的子群Γ若其每个元素都共轭于某个G₂子群中的元素，则Γ本身也共轭于一个G₂子群。
• 分类SO(7)中该朴素类比结果失效的例外情形。
• 将结果推广至任意域，尤其在二次型与八元数代数的背景下。
• 将分类结果应用于朗兰兹的全局 functoriality 猜想，特别是在自守形式的语境下。
• 推导出在全实域上，GL₇的 cuspidal 代数正则自守表示的必要且充分局部条件，使其关联的ℓ进伽罗瓦表示共轭进入G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)。

提出的方法

• 使用8维的旋表示W与SO(7)的标准7维表示E，证明若Γ中每个γ ∈ Γ在W中固定一个非零向量，且满足det(t−γ|W) = (t−1)det(t−γ|E)，则Γ在W中也固定一个非零向量。
• 利用G₂子群在Spin(7)中恰好是旋表示W中非零向量的稳定化子这一事实，得出Γ必共轭于一个G₂子群。
• 通过考虑7维非退化二次型空间E与E的旋子模W，将论证推广至任意域k，证明以下三个条件等价：(a) Γ中每个元素属于某个G₂子群，(b) 对所有γ ∈ Γ有det(1−γ|W)=0，(c) Γ包含于某个G₂子群。
• 通过复表示构造Γ在SO(7)中的显式嵌入：对ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ、GL₂(ℤ/3ℤ)与O(2)±，证明每个元素属于某个G₂子群，但整个群不包含于任何G₂子群。
• 利用k上八元数代数的理论，定义Spin(E)与SO(E)中的G₂子群，证明当它们存在时，在SO(E)作用下彼此共轭。
• 通过构造从G̃上的cusp形式ψ（由G上的cusp形式φ通过拉回与平均得到），将结果应用于自守形式，证明ψ是cusp形式且若φ为通用形式，则ψ亦为通用形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当子群Γ ⊂ Spin(7)满足其每个元素都共轭于某个G₂子群中的元素时，Γ在何种条件下共轭于一个G₂子群？
• RQ2 为何SO(7)中的类似结论不成立？其精确例外情形为何？
• RQ3 SO(7)中所有元素共轭于某个G₂子群中的元素，但群本身不包含于任何G₂子群的子群的完整分类为何？
• RQ4 如何将ℝ上的结果推广至任意域，尤其在二次型与八元数代数的语境下？
• RQ5 在全实域上，GL₇的cuspidal代数正则自守表示的必要且充分局部条件为何，使其关联的ℓ进伽罗瓦表示共轭进入G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)？

主要发现

• 对于Spin(7)的子群，若每个元素都共轭于某个G₂子群中的元素，则整个子群也共轭于一个G₂子群——这是一个强刚性结果。
• 在SO(7)中，该结论不成立；例外情形恰好为GL₂(ℤ/3ℤ)、SL₂(ℤ/3ℤ)、ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ，以及某些非交换子群（属于GO₂(ℂ)，具有紧致闭包且相似因子群为{±1}），且不与8阶二面体群同构。
• 通过构造Γ → SO(7)的显式群同态，其复化表示分解为非平凡特征标或维数≤2的不可约表示之和，实现了例外情形的分类。
• 在任意域k上，以下三个条件等价：(a) Γ中每个γ都属于某个G₂子群，(b) 对所有γ ∈ Γ有det(1−γ|W)=0，(c) Γ包含于某个G₂子群，前提是W是k[Γ]-模的半单模。
• 结果给出了全实域上GL₇的cuspidal代数正则自守表示的必要且充分局部条件，使其关联的ℓ进伽罗瓦表示共轭进入G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)。
• 通过覆盖群构造自守形式的结果表明：若cusp形式φ在覆盖群G̃上的拉回是光滑且缓慢增长的，则其关联形式ψ是cusp形式，且若φ为通用形式，则ψ亦为通用形式。