[论文解读] Subharmonic functions, generalizations and separately subharmonic functions

Juhani Riihentaus|ArXiv.org|Oct 8, 2006

Holomorphic and Operator Theory被引用 13

一句话总结

本文将准几乎次调和函数引入为次调和函数的推广，统一了拟次调和、几乎次调和与近乎次调和函数。通过使用广义拉普拉斯算子和可积性条件，放宽了正则性假设，建立了函数在某一变量上次调和而在另一变量上调和的次调和性新判据，改进了先前的结果。

ABSTRACT

First, we give the definition for quasi-nearly subharmonic functions, now for general, not necessarily nonnegative functions, unlike previously. We point out that our function class incudes, among others, quasisubharmonic functions, nearly subharmonic functions (in a slightly generalized sense) and almost subharmonic functions. We also give some basic properties of quasi-nearly subharmonic functions. Second, after recalling some of the existing subharmonicity results of separately subharmonic functions, we give the corresponding counterparts for separately quasi-nearly subharmonic functions, thus improving previous results of ours, of Lelong, of Avanissian and of Arsove. Third, we give two results concerning the subharmonicity of a function subharmonic with respect to the first variable and harmonic with respect to the second variable. The first result improves a result of Arsove, concerning the case when the function has, in addition, locally a negative integrable minorant. The second result improves a result of Kołodziej and Thorbiörnson concerning the subharmonicity of a function subharmonic and ${\mathcal{C}}^2$ in the first variable and harmonic in the second.

研究动机与目标

• 将准几乎次调和函数定义并研究为次调和函数的推广，包括拟次调和、广义意义上的几乎次调和以及近乎次调和函数。
• 通过引入分别准几乎次调和函数的对应结果，扩展阿米特奇和加德纳关于分别次调和函数的结果，改进了阿米特奇与加德纳、勒隆、阿瓦尼西安以及阿索夫的早期定理。
• 通过弱化广义拉普拉斯算子的正则性假设并引入可积性条件，推广了在某一变量上次调和而在另一变量上调和的函数的结果。
• 通过使用广义拉普拉斯算子和拉普拉斯算子的连续性假设，为阿索夫以及科洛德齐与托尔比约恩松的定理提供新的证明和改进。

提出的方法

• 将准几乎次调和函数定义为满足涉及球面上积分的广义平均值不等式的上半连续函数。
• 使用广义拉普拉斯算子（布拉施克-普里瓦洛夫算子）代替经典拉普拉斯算子，以处理正则性较低的函数。
• 应用Riesz分解定理，将次调和函数表示为一个调和函数与一个上调和函数之和。
• 使用局部可积控制函数的概念，并利用积分条件 ∫₁^∞ s^{(n-1)/(m-1)} (φ(s))^{-1/(m-1)} ds < ∞ 来控制增长并确保次调和性。
• 采用紧致性与可积性论证，特别是利用在连续性假设下，连续函数在稠密集上的延拓是唯一的这一事实。
• 使用球面对偶度量来定义广义拉普拉斯算子的连续性，从而允许存在极小集的不连续点。

实验结果

研究问题

• RQ1 次调和函数类是否可以推广至包含非正且正则性较低的函数，同时保持关键性质？
• RQ2 在何种条件下，一个在某一变量上次调和而在另一变量上调和的函数可保证是次调和的？
• RQ3 如何通过使用广义拉普拉斯算子弱化阿索夫以及科洛德齐与托尔比约恩松定理中的正则性假设？
• RQ4 控制函数的可积性或广义拉普拉斯算子的行为在确保次调和性中起什么作用？
• RQ5 能否通过将C²假设替换为广义拉普拉斯算子的连续性，进一步改进结果？

主要发现

• 准几乎次调和函数类包含了拟次调和、广义意义上的几乎次调和以及近乎次调和函数。
• 本文通过将阿米特奇与加德纳的生长条件替换为更简单的 Lᵖ_loc-可积性条件（p > 0），改进了他们的结果。
• 定理4通过将局部可积控制函数的假设弱化为局部有界下界函数，并结合广义拉普拉斯算子，改进了阿索夫的结果。
• 定理5通过将C²假设替换为广义拉普拉斯算子Δ₁u(·,y)几乎处处连续，改进了科洛德齐与托尔比约恩松的结果。
• 推论1表明，若广义拉普拉斯算子Δ₁u(·,y)在极集外连续且有限，则u是次调和的。
• 推论2建立：若Δ₁u(·,y)连续且为实值，则u是次调和的，提供了一个简洁且实用的判别准则。