[论文解读] Subharmonic functions, mean value inequality, boundary behavior, nonintegrability and exceptional sets

Juhani Riihentaus|ArXiv.org|Dec 30, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过建立例外集具有有限 $(n-1)$-维Hausdorff测度的函数的新可去奇点定理，推进了次调和函数与凸函数的理论。它改进了准近乎次调和函数的平均值不等式，证明了在加权条件下的边界行为结果，并将Suzuki的非可积性结果推广至极限情形。主要贡献是推广了Blanchet的可去奇点结果，表明在有限余维测度的小奇点集中，分别凸或次调和函数仍保持凸性或次调和性。

ABSTRACT

We begin by shortly recalling a generalized mean value inequality for subharmonic functions, and two applications of it: first a weighted boundary behavior result (with some new references and remarks), and then a borderline case result to Suzuki's nonintegrability results for superharmonic and subharmonic functions. The main part of the talk consists, however, of partial improvements to Blanchet's removable singularity results for subharmonic, plurisubharmonic and convex functions.

研究动机与目标

• 改进非负准近乎次调和函数的广义平均值不等式。
• 在加权条件下推广次调和函数的边界行为结果。
• 建立Suzuki的非可积性定理在极限情形下的结果。
• 改进Blanchet关于次调和、全纯次调和及凸函数的可去奇点定理。
• 刻画函数在具有有限 $(n-1)$-维Hausdorff测度的小例外集上保持凸性或次调和性的条件。

提出的方法

• 引入满足统一常数 $ C_0 $ 的广义平均值不等式的非负准近乎次调和函数类。
• 应用广义平均值不等式，推导次调和函数在加权条件下的边界行为结果。
• 利用左、右偏导数在 $ \mathcal{H}^{n-1} $-几乎处处存在的概念，分析奇点集。
• 应用凸函数的性质，包括左、右导数的存在性与支撑线，刻画分别凸性。
• 采用Lelong型刻画：当且仅当函数与任意仿射变换的复合为分别凸时，该函数为凸函数。
• 在截面 $ \Omega(X_j) $ 上应用Fubini型论证，将局部凸性推广至全局凸性，跨越例外集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，函数可在具有有限 $ \mathcal{H}^{n-1} $-测度的奇点集上保持次调和或凸性？
• RQ2 广义平均值不等式如何推广至准近乎次调和函数？其对边界行为有何影响？
• RQ3 Suzuki的非可积性结果对于次调和与上调和函数的最优极限情形为何？
• RQ4 Blanchet的可去奇点定理能否改进为适用于次调和、全纯次调和及凸函数？
• RQ5 单侧偏导数在确定具有孤立奇点的函数凸性方面起何作用？

主要发现

• 定理1为非负准近乎次调和函数建立了广义平均值不等式，将经典结果推广至更广的函数类。
• 定理3与推论3提供了Suzuki非可积性定理的极限情形，刻画了次调和函数为何不具有局部可积性。
• 定理5表明：若在区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $ 上连续的函数 $ u $ 在 $ \Omega \setminus E $ 上分别凸，且满足 $ \mathcal{H}^{n-1}(E) < \infty $，且对 $ \mathcal{H}^{n-1} $-几乎处处的 $ X_j $，在 $ E(X_j) $ 处满足单侧导数条件，则 $ u $ 为分别凸函数。
• 推论5通过证明：若 $ C^1 $ 函数在有限 $ \mathcal{H}^{n-1} $-测度的集合外分别凸，则其整体凸，从而强化了定理5。
• 本文证明：当单侧偏导数在例外集边界满足相容性条件时，凸性可在小奇点集上保持。
• 结果可推广至 $ \mathbb{C}^n $ 中的全纯次调和函数，相应地，此类函数也具有类似的可去奇点定理。