[论文解读] Subharmonicity of direct images and applications

Frédéric Campana, Junyan Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Digital Image Processing Techniques参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文在复几何中建立了直接像层的新次调和性质，利用奇异度量和曲率正性，证明了在稳定性与第一陈类为零的条件下，紧致凯勒流形上的全纯叶状结构具有代数叶。关键贡献在于部分证明了Pereira-Touzet关于在曲率与稳定性假设下叶的代数性的猜想。

ABSTRACT

In this article we establish new positivity properties for direct images of twisted pluricanonical bundle of an algebraic fiber space. As a corollary we obtain an algebraicity criteria for holomorphic foliations which partly confirms a conjecture of Pereira-Touzet.

研究动机与目标

• 研究凯勒纤维丛上全息线丛的奇异赫米特度量所诱导的直接像层的次调和性。
• 解决Pereira-Touzet关于第一陈类为零且第二陈类非零的全息叶状结构叶的代数性猜想。
• 在强曲率与稳定性假设下，建立直接像行列式丛的曲率正性结果。
• 将奇异度量的正性技术扩展至具有法向交叉奇点的凯勒纤维丛中的直接像。
• 通过相对Bergman核度量与曲率估计，提出Viehweg-Tsuji型定理的新方法。

提出的方法

• 利用奇异赫米特度量 $h_L$（具有非负曲率电流）在直接像 $\mathcal{E} = p_*((K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L))$ 上诱导的 $L^2$ 度量。
• 应用Berndtsson与Berman-Berndtsson的技术，将曲率估计约化为局部积模型 $U \times V \to U$，其中 $U$ 为球体，$V$ 为斯坦流形。
• 在条件 $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant \varepsilon_0 p^*\omega_X^n$ 下，建立形如 $\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$ 的曲率不等式。
• 使用相对Bergman核度量 $h_k$ 于 $mK_{Y/X} + L$，满足 $\Theta_{h_k}(mK_{Y/X}+L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$，且当 $k \to \infty$ 时 $\delta_k \to 0$。
• 通过行列式映射 $\det \mathcal{E} \to \otimes^r \mathcal{E}$ 构造截面 $s$，在纤维积 $Y^{(r)}$ 上定义奇异度量 $h_F$，以实现曲率比较。
• 使用解析化 $\varphi: Y^{(r)} \to Y^r$ 与除子校正 $E_1, E_2$ 处理奇点与余维数条件，确保曲率电流的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，直接像层 $\mathcal{E} = p_*(K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L)$ 在格里菲斯意义下具有半正曲率？
• RQ2 当 $\det \mathcal{E}$ 的曲率电流满足 $\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$ 时，其成立的条件为何？
• RQ3 能否从稳定性与 $c_1(\mathcal{F}) = 0$ 推出全息叶状结构 $\mathcal{F} \subset T_X$ 的叶的代数性？
• RQ4 在曲率约束下，相对Bergman核度量的行为如何？当 $k \to \infty$ 时，其极限为何？
• RQ5 当 $\Theta_{h_L}(L) \geqslant -C p^*\omega_X$ 且 $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant 0$ 时，可导出何种曲率估计？

主要发现

• 当 $\Theta_{h_L}(L) \geqslant 0$ 时，直接像层 $\mathcal{E} = p_*(K_{Y/X}+L) \otimes \mathcal{I}(h_L)$ 在格里菲斯意义下具有半正曲率。
• 在更强条件 $\Theta_{h_L}(L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant \varepsilon_0 p^*\omega_X^n$ 下，$\mathcal{E}$ 的行列式满足 $\Theta_{\det h_{Y/X}}(\det \mathcal{E}) \wedge \omega_X^{n-1} \geqslant r\varepsilon_0 \omega_X^n$。
• 对于满足 $c_1(\mathcal{F}) = 0$ 且对所有 $k \geq r+1$ 有 $\widehat{\mathrm{Sym}}^k \mathcal{F}^*$ 关于 $\omega_X$ 稳定的反射层 $\mathcal{F}$，$\mathbb{P}(E)$ 上的典范线丛 $\mathcal{O}(1)$ 不是拟有效，或 $\mathcal{F}$ 为赫米特平坦。
• 若 $X$ 为射影的，且对所有 $k \geq r$ 有 $\widehat{\mathrm{Sym}}^k \mathcal{F}^*$ 关于 $\omega_X$ 稳定，则关于 $\mathcal{O}(1)$ 或赫米特平坦性的结论仍成立。
• 存在一列 $m$-Bergman 度量 $h_k$ 于 $mK_{Y/X}+L$，满足 $\Theta_{h_k}(mK_{Y/X}+L) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$，且当 $k \to \infty$ 时 $\delta_k \to 0$。
• 当 $p:Y \to X$ 局部为射影且具有法向交叉奇点，且 $\mathcal{I}(h_L|_{Y_x}) = \mathcal{O}_{Y_x}$ 几乎处处成立时，存在一除子 $F$ 满足 $\mathrm{codim}_X p_*(F) \geq 2$，使得当 $k \to \infty$ 时，有 $\int_Y c_1((mr+r)(K_{Y/X}+L) - \pi^*\det\mathcal{E} + E_3 + F) \wedge p^*\omega_X^{n-1} \geqslant -\delta_k p^*\omega_X^n$。