[论文解读] Subharmonicity properties of the Bergman kernel and some other functions associated to pseudoconvex domains

Bo Berndtsson|ArXiv.org|May 23, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文证明了在伪凸域 D ⊂ ℂ^k × ℂ^n 上，带强拟凸权函数 φ 的 Bergman 核的对数 log K_t(z,z) 关于参数 t 是多重次调和的。将 Prekopa 定理推广至复几何设置，作者证明了对带权 φ 的全纯 L² 函数进行积分可得到多重次调和的对数核函数，从而将实域中关于 Robin 函数和能量积分的结果加以推广。其主要贡献是建立了凸分析中凸性定理在复分析中的类比。

ABSTRACT

Let $D$ be a pseudoconvex domain in $\C^k_t imes\Cn_z$ and let $ϕ$ be a plurisubharmonic function in $D$. For each $t$ we consider the $n$-dimensional slice of $D$, $D_t=\{z; (t,z)\in D\}$, let $ϕ^t$ be the restriction of $ϕ$ to $D_t$ and denote by $K_t(z,ζ)$ the Bergman kernel of $D_t$ with the weight function $ϕ^t$. Generalizing a recent result of Maitani and Yamaguchi (corresponding to $n=1$ and $ϕ=0$) we prove that $\log K_t(z,z)$ is a plurisubharmonic function in $D$. We also generalize an earlier results of Yamaguchi concerning the Robin function and discuss similar results in the setting of $\Rn$.

研究动机与目标

• 将 Maitani 和 Yamaguchi 关于 n=1 时对数 Bergman 核多重次调和性的结果推广至一般 n 维切片。
• 通过用多重次调和性替代凸性、用 ∂̄-上同调核替代拉普拉斯核，建立 Prekopa 凸性定理在复分析中的类比。
• 将实凸域中关于 Robin 函数和能量积分的结果推广至伪凸复域。
• 应用 log K_t(z,z) 的多重次调和性，构造新的多重次调和函数，以抑制给定多重次调和函数的奇点。
• 在几何条件 (C) 下，证明实域中能量积分和 Robin 函数的凸性，推广自凸分析中的结果。

提出的方法

• 在伪凸域 D ⊂ ℂ^k × ℂ^n 的 n 维切片 D_t 上定义带权 φ^t 的 Bergman 核 K_t(z,ζ)。
• 通过分析 ∂̄ 算子的 L²-伴随算子并利用 Hörmander 的 L² 估计，证明 log K_t(z,z) 在 D 上是多重次调和的。
• 利用 Hörmander 的 L² 估计，将非零全纯函数的存在性与 e^{-φ} 的局部可积性联系起来，从而实现 Bergman 核的构造。
• 引入一族函数 ψ(a,z) = φ(z) + (n-1)log|z−a|，以定义新的 Bergman 核并研究其对数奇点行为。
• 分析固定测度 μ 的能量积分 u(t) = ∫_{D_t} G_t(x,ξ) dμ(x)dμ(ξ)，在条件 (C) 下证明其关于 t 的凸性。
• 将条件 (C) 定义为在边界上 (n+1,n+1)-形式 dρ ∧ d#ρ ∧ dd#ρ ∧ ω′_{n−1} 的正性，以保证能量和 Robin 函数的凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 n ≥ 1，带权 φ^t 的 Bergman 核的对数在参数 t 上是否是多重次调和的？
• RQ2 能否在复几何中通过使用多重次调和函数和 ∂̄-上同调，将实分析中的 Prekopa 凸性定理推广？
• RQ3 在 ℝ^n 中光滑有界凸域的 Robin 函数在切片平移下是否保持凸性？
• RQ4 能否通过 Bergman 核修改多重次调和函数的奇点结构，以控制 Lelong 数？
• RQ5 在何种几何条件下，对于 D ⊂ ℝ^{n+1} 的域，固定测度的能量积分在切片参数 t 上是凸的？

主要发现

• log K_t(z,z) 在 D 上是多重次调和的，或恒为 −∞，推广了 Maitani 和 Yamaguchi 的 n=1 情形结果。
• 当 D_t 和 φ^t 具有旋转对称性时，函数 −log|D_t| 是多重次调和的，从而恢复了证明 Santaló 不等式时所用的结果。
• 对所有 p > 0，函数 p ↦ −log ∫_{D_t} e^{-pφ(t,ξ)} dξ 是多重次调和的，从而导出 plurisubharmonic 函数的 Kiselman 最小值原理。
• 通过 ψ^a(z) = φ(z) + (n−1)log|z−a| 定义的函数 χ(a) = log K_a(a,a) 是多重次调和的，且其对数奇点恰好出现在 φ 的 Lelong 数 ≥1 的点处。
• 在条件 (C) 下，能量积分 u(t) = ∫_{D_t} G_t(x,ξ) dμ(x)dμ(ξ) 关于 t 是凸的，且 Robin 函数是凸的（若条件 (C) 严格正，则为严格凸）。
• 对于 ℝ^n 中的凸域 Ω，Robin 函数是严格凸的，意味着调和中心是唯一的。