[论文解读] Sublattices of the lattice of local clones

Michael Pinsker|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究可数无限集上局部克隆的格，证明其可嵌入所有具有至多可数个紧致元素的代数格，但其复杂度严格高于该类。本文确立了该格包含不可数结构如 $M_{2^{\infty}}$ 作为同时保持并与交的子格，展示了其表达能力超越具有可数紧致元素的代数格。

ABSTRACT

We investigate the complexity of the lattice of local clones over a countably infinite base set. In particular, we prove that this lattice contains all algebraic lattices with at most countably many compact elements as complete sublattices, but that the class of lattices embeddable into the local clone lattice is strictly larger than that.

研究动机与目标

• 分析可数无限基集上局部克隆格的结构复杂度。
• 确定哪些格可被嵌入到局部克隆格 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中。
• 研究局部克隆格是否严格复杂于具有可数紧致元素的代数格类。
• 探讨不可数格如 $M_{2^{\infty}}$ 是否可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中。

提出的方法

• 通过 $Π$ 和 $Ι$ 算子在运算与关系之间的对偶性，本文将局部克隆表征为 $Π(\mathcal{R})$ 的形式，其中 $\mathcal{R}$ 为关系集合。
• 利用局部克隆的插值性质，本文证明一个克隆是局部的当且仅当其包含所有在其定义域的每个有限子集上与其中元素一致的运算。
• 本文通过在 $X$ 的子集上使用一元运算与关系，显式构造了 $M_{2^{\infty}}$ 到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 的保持并与交的嵌入。
• 本文应用关于子代数格与紧致元素的已知结果，证明 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 无法被嵌入到任何具有可数紧致元素的代数格中。
• 该证明依赖于如下事实：$ω$ 的任意不可数个子集族不可能两两交集等于某一固定集合，从而阻断了此类嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有可数紧致元素的代数格是否都能作为完整子格被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中？
• RQ2 可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中的格类是否严格大于具有可数紧致元素的代数格类？
• RQ3 $M_{2^{\infty}}$ 格（由大小为 $2^{\infty}$ 的反链及一个最小元与最大元构成）是否可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中？
• RQ4 每个可序嵌入到 $ω$ 的幂集中的格是否也可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中？

主要发现

• 格 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 包含所有具有至多可数个紧致元素的代数格作为完整子格。
• 可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中的格类严格大于具有可数紧致元素的代数格类。
• $M_{2^{\infty}}$ 格可被嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中，且作为保持并与交的子格。
• 存在一个保持并的嵌入，将 $M_{2^{\infty}}$ 嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中，使用形如 $Π(\{A_i\})$ 的局部克隆，其中 $A_i$ 为 $X$ 的非空真子集。
• 存在一个保持交的嵌入，将 $M_{2^{\infty}}$ 嵌入到 $Ο_{\text{loc}}(X)$ 中，使用一元运算 $f_{B_i}$ 与在 $X$ 中某对固定元素上的常值运算。
• $Ο_{\text{loc}}(X)$ 无法被嵌入到任何具有可数紧致元素的代数格中，因为此类格无法将 $M_{2^{\infty}}$ 作为交半格子结构包含。